Autor Tema: Cuestiones sobre bolas en espacios métricos

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20 Marzo, 2021, 01:34 pm
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alvarez

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Hola. Espero que puedan darme indicaciones para resolver estas tres preguntas. Soy nuevo en la topología y aún me cuesta este nivel supongo que sencillo.

1. Sea \( (X, d) \) un espacio métrico, \( x \) e \( y \) dos puntos de \( X \) tales que \( y\in B(x,r) \)  para un cierto \( r > 0 \). Demuestra que \( B(y,r)\subset B(x,2r) \).

2. Si \( B(x,r_1)=B(x,r_2) \)  para cierto punto \( x\in X \) y radios \( r_1 , r_2 > 0 \). ¿Debe ser \( r_1 = r_2 \)?

Deduzco que aquí la respuesta es falsa, pero no sé qué contraejemplo tomar.

3. Si \( B(x,r_1)=B(y,r_2) \)  para ciertos puntos \( x, y\in X \) y radios \( r_1, r_2 > 0 \). ¿Debe ser \( x = y \)? ¿Y \( r_1 = r_2 \)?

Tómese la distancia usual en todas las bolas.

Gracias por su ayuda  :laugh:

20 Marzo, 2021, 01:50 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola. Espero que puedan darme indicaciones para resolver estas tres preguntas. Soy nuevo en la topología y aún me cuesta este nivel supongo que sencillo.

1. Sea \( (X, d) \) un espacio métrico, \( x \) e \( y \) dos puntos de \( X \) tales que \( y\in B(x,r) \)  para un cierto \( r > 0 \). Demuestra que \( B(y,r)\subset B(x,2r) \).

Esto es una consecuencia inmediata de la desigualdad triangular. Para demostrarlo te basta tomar cualquier punto \( z\in B(y,r) \) y mostrar que \( d(x,z)<2r \).

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2. Si \( B(x,r_1)=B(x,r_2) \)  para cierto punto \( x\in X \) y radios \( r_1 , r_2 > 0 \). ¿Debe ser \( r_1 = r_2 \)?

Deduzco que aquí la respuesta es falsa, pero no sé qué contraejemplo tomar.

Supón que el espacio métrico es el intervalo \( [0,1] \) con la función valor absoluto, \( x=1/2,\, r_1=1 \)  y \( r_2=2 \).

Citar
3. Si \( B(x,r_1)=B(y,r_2) \)  para ciertos puntos \( x, y\in X \) y radios \( r_1, r_2 > 0 \). ¿Debe ser \( x = y \)? ¿Y \( r_1 = r_2 \)?

Utiliza el ejemplo de la pregunta anterior para construir un contraejemplo.



Por cierto, ¿qué significa el título de este hilo? ¿Qué es una topología numerable? ¿Tiene algo que ver con los problemas planteados?

20 Marzo, 2021, 04:08 pm
Respuesta #2

alvarez

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Muchísimas gracias Masacroso, ya pude completarlo todo con facilidad  :aplauso:

Errata mía en el título, tenía un borrador de la topología numerable y me equivoqué  :-[