Autor Tema: Demostrar que un espacio métrico discreto de más de un punto es totalmente...

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19 Marzo, 2021, 07:24 pm
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Florruiz

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Espero puedan ayudarme por favor. Necesito me expliquen esta demostración paso a paso.
Demostrar que un espacio métrico discreto de mas de un punto, es totalmente disconexo y localmente conexo.

19 Marzo, 2021, 07:41 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Sea \[ X \] un espacio métrico (o topológico, da igual) discreto.
Para ver que es totalmente disconexo, hay que ver que cualquier conjunto \[ A \subseteq X \] con más de un punto no es conexo. Como todos los subconjuntos de \[ X \] son abiertos (y cerrados), puedes considerar un punto \[ a \in A \] y tienes que \[ \{a\} \] y \[ A\setminus \{a\} \] son abiertos disjuntos no vacíos con unión \[ A \], luego \[ A \] no es conexo.

Por otro lado, hay que ver que todo espacio métrico es localmente conexo. Esto quiere decir que todo punto está contenido en un abierto conexo. Pero en un espacio discreto todo punto es abierto y por otro lado un conjunto con un único punto es siempre conexo, así que ya estamos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)