[geómetracat]

Sí, es verdad que es cambio de cartas. En ese sentido no es necesario que el difeomorfismo esté definido en toda la variedad.

Pero lo que es necesario es que restringido a la carta que consideres sea un difeomorfismo y no un difeomorfismo local. Es decir, que si \[ U \] es la carta original, \[ f:U \to f(U) \] es un difeomorfismo, de manera que tienes unas coordenadas bien definidas en \[ f(U) \].
En cambio, si \[ f:U \to f(U) \] es difeomorfismo local pero no es inyectiva, no hay unas coordenadas bien definidas en \[ f(U) \]. Aunque siempre puedes arreglar esto pasando a un abierto de \[ U \] suficientemente pequeño donde la restricción de \[ f \] sí sea difeomorfismo.

[Restituto]

Sí, es verdad que es cambio de cartas. En ese sentido no es necesario que el difeomorfismo esté definido en toda la variedad.

Pero lo que es necesario es que restringido a la carta que consideres sea un difeomorfismo y no un difeomorfismo local. Es decir, que si \[ U \] es la carta original, \[ f:U \to f(U) \] es un difeomorfismo, de manera que tienes unas coordenadas bien definidas en \[ f(U) \].
En cambio, si \[ f:U \to f(U) \] es difeomorfismo local pero no es inyectiva, no hay unas coordenadas bien definidas en \[ f(U) \]. Aunque siempre puedes arreglar esto pasando a un abierto de \[ U \] suficientemente pequeño donde la restricción de \[ f \] sí sea difeomorfismo.

Entendido. De hecho los difeomorfismos son difeomorfismos locales(los incluyen) pero no viceversa, la invariancia de difeomorfismos es una propiedad global y el grupo de difeomorfismos por supuesto incluye a los difeomorfismos locales por definición pero va más allá, por ejemplo el mapa exponencial que determina la conexión afín para la invariancia bajo los difeomorfismos se extiende a toda la variedad en vez de restringirse a un pequeño entorno abierto.

En este sentido el grupo gauge(local) aunque sea en un espacio abastracto o interno también incluye invariancia bajo rotaciones de los ejes de coordenadas locales de los puntos de los  campos al cambiar estos de punto suavemente es decir deben tener en cuenta la orientación de estos ejes(por lo que se usa una derivada covariante gauge análoga a la derivada covariante de la conexión afín en variedades) y por ello tienen propiedad global como el grupo de difeomorfismos.
La diferencia con el gauge global es que en este último todos sus puntos tienen las mismas propiedades geométricas, están ya orientados sus ejes de coordenadas locales de la misma forma y por tanto no hay dependencia de punto al movernos por el campo(tensorial o espinorial o vectorial....es decir basta con la derivada parcial) que sí hay en el gauge local.


En la literatura físca hay cierta confusión con esto ya que a muchas propiedades globales o no-locales en el sentido anterior se las llama locales por depender de variable de posición, desde el gauge local a las simetrías locales, la conservación local, los campos locales, etc...

[Restituto]

 Al final no estoy seguro de si estabas de acuerdo con que tanto la invariancia bajo el grupo de difeomorfismos como la invariancia gauge son propiedades no-locales o globales (el que incluyen la propiedad global de orientabilidad que lo es parece también garantizarlo). ¿Me lo podrías confirmar?

[geómetracat]

Pues lo que pasa es que tengo algunos problemas en entender correctamente a qué llaman los físicos "invariancia". Desde luego no parece que sean propiedades locales en el sentido que dije antes (de que basta comprobar con que se cumpla en un recubrimiento por abiertos cualquiera), porque tampoco parece que tenga mucho sentido hablar de "invariancia global".

Creo que es más bien decir "las ecuaciones tienen la misma forma en todos los sistemas de coordenadas", lo cual de entrada tiene un aspecto local (porque los sistemas de coordenadas casi nunca están definidos en toda la variedad). Pero por otro lado esto es consecuencia del hecho de que hay una formulación intrínseca. Quiero decir, si defines las ecuaciones de Einstein como una igualdad de tensores, ya es obvia la invariancia en ese sentido, y lo mismo en el caso de teorías gauge si lo formulas como conexiones en fibrados principales.

Por otro lado, ¿dónde dices que entra la orientabilidad?

[Restituto]

Pues lo que pasa es que tengo algunos problemas en entender correctamente a qué llaman los físicos "invariancia". Desde luego no parece que sean propiedades locales en el sentido que dije antes (de que basta comprobar con que se cumpla en un recubrimiento por abiertos cualquiera), porque tampoco parece que tenga mucho sentido hablar de "invariancia global".

Creo que es más bien decir "las ecuaciones tienen la misma forma en todos los sistemas de coordenadas", lo cual de entrada tiene un aspecto local (porque los sistemas de coordenadas casi nunca están definidos en toda la variedad). Pero por otro lado esto es consecuencia del hecho de que hay una formulación intrínseca. Quiero decir, si defines las ecuaciones de Einstein como una igualdad de tensores, ya es obvia la invariancia en ese sentido, y lo mismo en el caso de teorías gauge si lo formulas como conexiones en fibrados principales.

La globalidad o no-localidad estaría en que las ecuaciones tienen la misma forma en cualquier localización y momento, en este sentido se refieren a lo que los físicos llaman Leyes Universales. La verdad es que estoy de acuerdo, y esto lo han señalado muchos estudiosos del tema ya, en que hay una cierta trivialidad matemática en todo ello.

Por otro lado, ¿dónde dices que entra la orientabilidad?

La dependencia del punto hace que se tenga que usar una conexión afín o derivada covariante con transporte paralelo por ejemplo la de Levi-Civita en la geometría Riemanniana de curvatura variable pero también se define en ausencia de tensor métrico, como en el caso de la derivada covariante gauge o conexión en fibrados principales que mencionas que no tiene relación directa con una métrica. Mi razonamiento es que esta conexión debe compensar cualquier rotación de los ejes de coordenadas de los puntos a los que se aplica para que realmente preserve la propiedad afín en las traslaciones entre puntos, y las transformaciones afines preservan la orientación. Me estoy refiriendo siempre al caso de interacción, como la que hay entre un campo gauge puro como el de los fotones y uno material como el de elctrones, que se da de forma inmediata cuando el campo material es complejo y es donde entra la relación con una variedad orientable concreta..

[geómetracat]

Mi razonamiento es que esta conexión debe compensar cualquier rotación de los ejes de coordenadas de los puntos a los que se aplica para que realmente preserve la propiedad afín en las traslaciones entre puntos, y las transformaciones afines preservan la orientación.

No sé si lo entiendo muy bien. Pero una transformación de gauge deja fijos los puntos de la variedad, lo que mueve es la fibra (el espacio interno que decías antes).

[Restituto]

No, a ver, por ejemplo pongamos que el gauge es el de carga electromagnética de grupo \( U(1) \), tenemos el cambio de fase que es lo que dices tu en cada fibra de cada punto pongamos de un campo \( \psi(x) \) y tenemos la dependencia del campo del punto \( x \), y en cada punto podemos medir el campo en diferentes orientaciones en la variedad base de los ejes de coordenadas de cada punto del campo, por eso es necesaria una derivada covariante que compense esto y nos mantenga una misma orientación. O sea que tenemos que tener información de ambas cosas en la transformación gauge(que son de grupos no solo continuos sino infinitos en el gauge local), el cambio de fase en la fibra y de coordenadas en la variedad base. Si se fija el punto o están todos los puntos orientados igual estamos en el gauge global. Al menos eso es lo que yo entiendo.

[geómetracat]

Sí, creo que tienes razón. Me he liado con el hecho de que una transformación de gauge, en el sentido matemático abstracto, no mueve los puntos de la variedad base. Pero claro, eso no quiere decir que no puedas considerar sistemas de coordenadas distintos en la base, lo cual tiene un efecto sobre la expresión en coordenadas locales.

[Restituto]

Sí, creo que tienes razón. Me he liado con el hecho de que una transformación de gauge, en el sentido matemático abstracto, no mueve los puntos de la variedad base. Pero claro, eso no quiere decir que no puedas considerar sistemas de coordenadas distintos en la base, lo cual tiene un efecto sobre la expresión en coordenadas locales.

Eso es. Como la explicación en términos de fibrados principales o vectoriales es bastante farragosa (se puede complicar matemáticamente todo lo que quieras) y yo tampoco la conozco a fondo he tirado de la analogía con la derivada covariante de GR. Pero básicamente lo que se tiene en el caso gauge de campos físicos es la elección de seccion local del fibrado para la fibra correspondiente a cada punto en la variedad base(simplemente como variedad diferenciable sin consideraciones métricas), que es equivalente a la elección de una base coordenada. Sobre el conjunto de todas las bases ordenadas actúa libre y transitivamente el grupo de Lie general lineal GL(V) pero no en su componente identidad de transformaciones lineales generales de determinante positivo dando una orientación( https://en.wikipedia.org/wiki/Orientation_(vector_space)#Lie_group_theory), esto en en cada fibra puntual pero queremos que la variación entre puntos sea suave, esto es lo que digo que implica orientabilidad en las transformaciones gauge locales.

[Restituto]

Respecto de lo que comentabas sobre mover o no mover puntos es un tema de eterno debate entre físicos y matemáticos, los primeros, en su concepción más "dinámica", hacen hincapié en diferenciar transformaciones activas y pasivas y ven en cierto modo las primeras como "mover" los puntos en ved del sistema de coordenadas cuando se involucran transformaciones afines donde el origen de coordenadas se puede trasladar, mientras que los matemáticos no hacen esa distinción en general, lo ven todo "más estático" (al menos desde Weiersstrass ) en cualquier caso no influye en las matemáticas. Como comentario, esto no es tan trivial como parece, Einstein se atascó un par de años con este tema hasta que aceptó la visión matemática del  tema y aceptó que podía haber ecuaciones de campo generalmente covariantes, y porque vió que Hilbert le comía la tostada. El famoso argumento del agujero.