[Restituto]

Añadido:
Se me olvidaba comentar el tema de las variedades Lorentzianas (o pseudo-riemannianas en general). Este es un tema interesante porque aquí hay dos nociones de orientabilidad: la orientabilidad usual, de la que he hablado antes, y la orientabilidad temporal, que básicamente quiere decir que hay una elección en cada punto de cono temporal positivo que es globalmente coherente. Lo interesante aquí es que la noción de orientabilidad temporal es puramente métrica y no es topológica: en una misma variedad puedes tener métricas temporalmente orientables y métricas que no.

Me ha costado casi 3 meses darme cuenta de este añadido    pero bueno nunca es tarde si la dicha es buena. Me parece muy interesante, es verdad que hace falta tener una métrica de signatura indefinida para poder distinguir vectores de género tiempo de los de género espacio y luz en relatividad. Las condiciones topólogicas parecen ser bastante modestas en general, por ejemplo cualquier variedad espaciotiempo \( (M^4, g_{ab}) \) que sea simplemente conexa ya puede orientarse temporalmente, y si es también no-compacta admitirá no solo orientabilidad temporal sino además la espacial en las 3 dimensiones restantes como en el espaciotiempo de Minkowski. ¿Se puede ver en este último caso como una especie de redundancia(en forma de signatura lorentziana) de la orientabilidad usual dada por un determinante globalmente coherente para el espacio tangente a cada punto de la variedad?

[geómetracat]

En general, en una variedad Lorentziana hay tres tipos de orientabilidad: la orientabilidad usual (topológica), orientabilidad temporal y orientabilidad espacial. Estas dos últimas dependen de la métrica y no solo de la topología del espacio.
Si la variedad es simplemente conexa, entonces es orientable en todos los sentidos. Esto se sigue de que para cada una de las nociones de orientabilidad hay un recubridor doble que es conexo si y solo si la variedad no es orientable (en el sentido que sea).

De hecho, la orientabilidad temporal es equivalente a que exista un campo vectorial tipo tiempo en la variedad.
Sobre obstrucciones topológicas, en realidad no hay ninguna: si una variedad admite una métrica Lorentziana (que a su vez es equivalente a pedir que la variedad no sea compacta o bien sea compacta con característica de Euler \[ 0 \]), entonces existe una métrica de Lorentz tenporalmente orientable.

Todas estas cosas están bastante bien explicadas en el libro de geometría semiriemanniana de O'Neill.

[Restituto]

Si la variedad es simplemente conexa, entonces es orientable en todos los sentidos. Esto se sigue de que para cada una de las nociones de orientabilidad hay un recubridor doble que es conexo si y solo si la variedad no es orientable (en el sentido que sea).

Uy es verdad, me lié, me refería a que si NO es simplemente conexa tiene o la orientabilidad  espacial o la temporal sola.

Mi pregunta era si se puede entender entonces la adición de orientabilidad temporal a la espacial a una especie de redundancia que permite el concepto de orientabilidad global(dadas las mínimas condiciones topológicas comentadas), ya que al final se trata de poder asignar 2 vectores de sentido opuesto en la dirección n en cada punto de la variedad, donde la dirección n sería la de los vectores de genero tiempo. De tal forma que dada una orientabilidad dada según una convención de determinante positivo en cada punto y la signatura lorentziana ya se obtienen tanto una orientabilidad 3-espacial como la temporal.

[geómetracat]

Uy es verdad, me lié, me refería a que si NO es simplemente conexa tiene o la orientabilidad  espacial o la temporal sola.

Hmm no lo veo muy claro, yo diría que puede tener todas las orientabilidades aunque no sea simplemente conexa. Por ejemplo el cilindro \[  \Bbb R \times S^1 \], con la métrica de Lorentz dada por \[ ds^2=-dt^2+d\theta^2 \] creo que es orientable en todos los sentidos.

Mi pregunta era si se puede entender entonces la adición de orientabilidad temporal a la espacial a una especie de redundancia que permite el concepto de orientabilidad global(dadas las mínimas condiciones topológicas comentadas), ya que al final se trata de poder asignar 2 vectores de sentido opuesto en la dirección n en cada punto de la variedad, donde la dirección n sería la de los vectores de genero tiempo. De tal forma que dada una orientabilidad dada según una convención de determinante positivo en cada punto y la signatura lorentziana ya se obtienen tanto una orientabilidad 3-espacial como la temporal.

Si entiendo bien la pregunta, sí que hay redundancias. Si no me equivoco, siempre que tengas dos tipos de los tres de orientabilidad (temporal, espacial, o global -topológica-) tienes también el tercer tipo. Ahora, diría que hay ejemplos de variedades Lorentzianas con un tipo de orientabilidad pero ninguno de los otros dos.

[Restituto]

Hmm no lo veo muy claro, yo diría que puede tener todas las orientabilidades aunque no sea simplemente conexa. Por ejemplo el cilindro \[  \Bbb R \times S^1 \], con la métrica de Lorentz dada por \[ ds^2=-dt^2+d\theta^2 \] creo que es orientable en todos los sentidos.

Sí. Mi comentario era sólo sobre variedades 4-dimensionales. En todo lo que digo en este hilo me estoy centrando en espaciotiempos de 4 dimensiones.

Si entiendo bien la pregunta, sí que hay redundancias. Si no me equivoco, siempre que tengas dos tipos de los tres de orientabilidad (temporal, espacial, o global -topológica-) tienes también el tercer tipo.

Me parece que la redundancia  es incluso mayor y bastaría tener coordenadas locales(con signatura lorentziana) con determinante positivo para todo par de entornos recubridores en la variedad para determinar también tanto la orientación 3-espacial como la temporal ya que se cuenta con la diferencia de signo como información adicional en tales métricas.

Ahora, diría que hay ejemplos de variedades Lorentzianas con un tipo de orientabilidad pero ninguno de los otros dos.

  Creo que si nos centramos en las 4-dimensionales simplemente conexas no se puede dar esta situación.

[geómetracat]

Sí. Mi comentario era sólo sobre variedades 4-dimensionales. En todo lo que digo en este hilo me estoy centrando en espaciotiempos de 4 dimensiones.

Yo diría que no es muy importante la dimensión, cambia el ejemplo por \[ \Bbb R \times S^1 \times S^1 \times S^1 \].

Me parece que la redundancia  es incluso mayor y bastaría tener coordenadas locales(con signatura lorentziana) con determinante positivo para todo par de entornos recubridores en la variedad para determinar también tanto la orientación 3-espacial como la temporal ya que se cuenta con la diferencia de signo como información adicional en tales métricas.

Creo que no. El problema es que aunque tengas cambios de cartas con determinante positivo puede pasar que sea porque cambia tanto la orientación temporal como espacial.

Creo que si nos centramos en las 4-dimensionales simplemente conexas no se puede dar esta situación.

Si son simplemente conexas son automáticamente orientables en todos los sentidos, independientemente de la dimensión. Los posibles problemas vienen para variedades no simplemente conexas.

Por cierto, si tienes referencias para estos temas más allá del O'Neill te agradecería que me pasaras alguna.

[Restituto]

Me parece que la redundancia  es incluso mayor y bastaría tener coordenadas locales(con signatura lorentziana) con determinante positivo para todo par de entornos recubridores en la variedad para determinar también tanto la orientación 3-espacial como la temporal ya que se cuenta con la diferencia de signo como información adicional en tales métricas.

Esto quizás debería precisarlo más. Se obtienen las otras 2 orientaciones no solo si la variedad es orientable sino orientada(es decir se ha elegido una convención de orientación) para unas coordenadas con una signatura métrica concreta dada.

[Restituto]

Yo diría que no es muy importante la dimensión, cambia el ejemplo por \[ \Bbb R \times S^1 \times S^1 \times S^1 \].

No tanto la dimensión sino  los requisitos habituales en espaciotiempos 4 dimensionales como el de no compacidad a los que me estoy refiriendo.

Creo que no. El problema es que aunque tengas cambios de cartas con determinante positivo puede pasar que sea porque cambia tanto la orientación temporal como espacial.

Escribí una precisión en mi último mensaje que fija esto.

Por cierto, si tienes referencias para estos temas más allá del O'Neill te agradecería que me pasaras alguna.

Sí, disculpa.Las debería haber mencionado . La sección 6.2.1 del libro "What makes time special?" de Callender. Y también  “General Relativity” An Einstein Centenary Survey, Editado por S. Hawking y W. Israel: Capítulo 5 “Global structure of spacetimes” en la sección 5.2.

[geómetracat]

Muchas gracias por las referencias.

No tanto la dimensión sino  los requisitos habituales en espaciotiempos 4 dimensionales como el de no compacidad a los que me estoy refiriendo.

Todavía no me acaba de quedar claro cuáles son los requisitos habituales. ¿Los puedes poner explícitamente? Yo todo el rato hablo de variedades lorentzianas en general.

Escribí una precisión en mi último mensaje que fija esto.

Sigo sin verlo claro. Que hayas elegido una orientación no debería afectar para ver si es orientable en los otros sentidos.
Por dejarlo claro: ¿lo que afirmas es que si tienes una variedad lorentziana topológicamente orientada, entonces es automáticamente temporalmente orientable y espacialmente orientable?

[Restituto]

Todavía no me acaba de quedar claro cuáles son los requisitos habituales. ¿Los puedes poner explícitamente? Yo todo el rato hablo de variedades lorentzianas en general.

Sí, serían las usuales para variedades lorentzianas en relatividad: 4-dimensional orientable suave, no-compacta, simplemente conexa. Por tanto si admite orientabilidad temporal debe admitir necesaramente 3-espacial y si admite la 3-espacial también la temporal(cuando se da la orientación fija que menciono abajo).

Sigo sin verlo claro. Que hayas elegido una orientación no debería afectar para ver si es orientable en los otros sentidos.
Por dejarlo claro: ¿lo que afirmas es que si tienes una variedad lorentziana topológicamente orientada, entonces es automáticamente temporalmente orientable y espacialmente orientable?

Suponiendo que cumple los requisitos mencionados arriba, entonces una vez elegida una convención de orientación en 4 dimensiones con signatura indefinida esto implica su orientabilidad espacial en 3 dimensiones en base al signo elegido como espacialmente positivo en la parte espacial de su signatura indefinida, y por tanto la temporal por lo dicho arriba. Ahora no estoy seguro de que este razonamiento funcione pero creo que la signatura indefinida con un signo diferente a los otros 3(signatura 2) distingue la orientabilidad espacial y temporal de forma invariante.