Autor Tema: Dudas sobre orientabilidad en variedades

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18 Marzo, 2021, 09:24 pm
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Restituto

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La orientabilidad en variedades es una propiedad topológica, pero dependiendo de la definición concreta exige o no más estructura como que la variedad sea diferenciable, o incluso en algunos casos como por ejemplo en física relativista además de ciertas propiedades topológicas la variedad requiere un tensor métrico Lorentziano. ¿Sería lo que se conoce como una propiedad local en geometría de variedades? En el sentido de que cuando se comprueban que son ciertas en pequeños entornos abiertos entonces lo son también en toda la variedad, como el ser subconjunto abierto o difeomorfismo local.

Así en el caso de una variedad diferenciable se relaciona un atlas orientado(parte global) de acuerdo con una misma orientación de sus mapas de transición(lo local, usando un determinante con la misma convención positiva en las transformaciones entre las coordenadas locales de cada par de entornos recubridores en la variedad), y en el caso relativista mencionado antes se han de relacionar la división global de sub-haces fibrados vectoriales en temporales y espaciales que da la signatura indefinida de la métrica Lorentziana con lo que esta determina localmente en cada punto de la variedad de manera que esta es tanto temporalmente como espacialmente orientable.


Cualquier comentario sobre la corrección de lo anterior(si se entiende algo) me será de utilidad, gracias.

18 Marzo, 2021, 09:31 pm
Respuesta #1

Masacroso

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La orientabilidad en variedades es una propiedad topológica, pero dependiendo de la definición concreta exige o no más estructura como que la variedad sea diferenciable, o incluso en algunos casos como por ejemplo en física relativista además de ciertas propiedades topológicas la variedad requiere un tensor métrico Lorentziano. ¿Sería lo que se conoce como una propiedad local en geometría de variedades? En el sentido de que cuando se comprueban que son ciertas en pequeños entornos abiertos entonces lo son también en toda la variedad, como el ser subconjunto abierto o difeomorfismo local.

La orientabilidad no es una propiedad local, depende de la existencia de un atlas que verifique la condición de orientabilidad. Por ejemplo la cinta de Möbius es localmente euclídea (semejante a un trozo de plano) pero no es orientable.

18 Marzo, 2021, 09:36 pm
Respuesta #2

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La orientabilidad no es una propiedad local, depende de la existencia de un atlas que verifique la condición de orientabilidad. Por ejemplo la cinta de Möbius es localmente euclídea (semejante a un trozo de plano) pero no es orientable.
En realidad lo que explicas es el concepto que yo estoy intentando expresar, así que igual me estoy liando con la definición de propiedad local en geometría diferencial de variedades. Por ejemplo, ¿el ser difeomorfismo local no depende también de una condición global que da el atlas?
Añadido: ya que las cartas locales que relacionan deben formar parte de un atlas.

18 Marzo, 2021, 10:19 pm
Respuesta #3

Restituto

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Creo que tienes razón y la orientabilidad debe ser una propiedad global. Me armo un taco con la definición de propiedades locales, creo que aunque la orientabilidad deba ser definida localmente(o al menos eso se explica aquí https://en.wikipedia.org/wiki/Orientability#Homology_and_the_orientability_of_general_manifolds ) no es una propiedad local al depender de la condición global del atlas orientado.

18 Marzo, 2021, 10:27 pm
Respuesta #4

Masacroso

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Por ejemplo, ¿el ser difeomorfismo local no depende también de una condición global que da el atlas?
Añadido: ya que las cartas locales que relacionan deben formar parte de un atlas.

¿A qué llamas difeomorfismo local? Toda carta de una variedad diferencial es, por definición, un difeomorfismo local. Pero una carta sola no define un atlas diferenciable (ni siquiera su existencia ya que una variedad puede ser diferenciable en alguna zona y en otra no). No sé si eso te aclara algo.

18 Marzo, 2021, 11:41 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Como ya ha dicho Masacroso, la orientabilidad es una propiedad global. Localmente toda variedad es orientable (todo punto tiene un entorno homeomorfo a algún \[ \Bbb R^n \], y \[ \Bbb R^n \] es orientable). La cuestión está en si puedes elegir las orientaciones locales de manera consistente, de forma que te dé una orientación (global) en la variedad. Hay varias maneras de precisar esto.

Si estás en el contexto más general de variedades topológicas, puedes usar homología para definir las orientaciones locales (como en el enlace que pones) y usar algún método para ver si "encajan bien". Por ejemplo, considerar un haz de orientaciones locales, de forma que la variedad es orientable si y solo si el haz de orientaciones tiene alguna sección global.

Cuando estás en una variedad diferenciable hay caracterizaciones y criterios mucho más sencillos para la orientabilidad. Por ejemplo, que exista un atlas que tenga los cambios de carta con jacobiano positivo. Otra es que haya una forma diferencial de grado máximo que no se anule en ningún punto, y hay varias otras.

En definitiva, la orientabilidad es un concepto puramente topológico (y global), pero con estructuras diferenciables tienes otras caracterizaciones, que usan la estructura diferenciable, que son más fáciles de comprobar.

Sobre lo de las propiedades locales. Una propiedad es local si para verificar que se cumple para un espacio \[ X \] basta con verificar que se cumple en cada uno de los abiertos de un recubrimiento (cualquiera) de \[ X \]. Así, la orientabilidad no es local: siempre hay un recubrimiento de manera que cada abierto es orientable, pero el espacio total no tiene por qué serlo. Ser difeomorfismo local sí es local: una aplicación \[ f:X \to Y \] es difeomorfismo local si y solo si lo es cada restricción \[ f|_{U_i} \] con \[ \{U_i\} \] un recubrimiento por abiertos de \[ X \]. En cambio, ser difeomorfismo no es local, pues puedes tener que una aplicación no inyectiva pero que sea inyectiva restringida a cada abierto de un recubrimiento.

Añadido:
Se me olvidaba comentar el tema de las variedades Lorentzianas (o pseudo-riemannianas en general). Este es un tema interesante porque aquí hay dos nociones de orientabilidad: la orientabilidad usual, de la que he hablado antes, y la orientabilidad temporal, que básicamente quiere decir que hay una elección en cada punto de cono temporal positivo que es globalmente coherente. Lo interesante aquí es que la noción de orientabilidad temporal es puramente métrica y no es topológica: en una misma variedad puedes tener métricas temporalmente orientables y métricas que no.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Marzo, 2021, 12:05 am
Respuesta #6

Restituto

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Muchas gracias a los 2.
Ahora me aclaro mejor con lo que significa ser propiedad local y puedo ver que la orientabilidad no lo es. Pero por ejemplo tengo dudas con un par de propiedades en física cuyo fundamento se supone puramente matemático, basado en los difeomorfismos locales, como la invariancia de difeomorfismos locales de la relatividad general y la invariancia de gauge local de la teoría de campos cuánticos relativista. pero por lo que entiendo estas sí que serían propiedades locales.

19 Marzo, 2021, 12:17 am
Respuesta #7

Restituto

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Me parece que me estoy volviendo a liar. La invariancia ante cambios de difeomorfismo local, es decir cambios de una propiedad local ¿sería una propiedad entonces global de la variedad?

19 Marzo, 2021, 12:27 am
Respuesta #8

geómetracat

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Hmm, yo creo que no tiene mucho que ver con propiedades locales. No soy muy capaz de darle sentido a "invariancia bajo difeomorfismos locales de la relatividad general", y en una búsqueda rápida no he encontrado nada. Lo que sí hay es la invariancia bajo difeomorfismos, que es una manera de decir que las ecuaciones de RG son las mismas en cualquier sistema de coordenadas (que es claro pues es una igualdad de tensores, que tiene una formulación intrínseca, sin coordenadas).

En "invariancia de gauge local" el local hace referencia a que el elemento del grupo de gauge por el que multiplicas en cada punto puede depender del punto, en contraposición a las transformaciones de gauge globales donde el elemento del grupo es el mismo para cada punto. Esta nomenclatura creo que es una cosa de físicos. A las transformaciones de gauge "locales" yo las llamo simplemente transformaciones de gauge. Además, creo que esa distinción es algo que no tiene sentido si el fibrado principal no es trivial. Como los físicos suelen trabajar con fibrados sobre el espacio de Minkowski, que es contráctil y por tanto todos los fibrados son triviales, tiene sentido considerar esa distinción. Pero si trabajas en fibrados sobre variedades más complicadas, ya no.

De todas maneras sobre esto último no estoy muy seguro. Puede que no esté entendiendo bien la distinción transformación de gauge local/global.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Marzo, 2021, 12:48 am
Respuesta #9

Restituto

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Hmm, yo creo que no tiene mucho que ver con propiedades locales. No soy muy capaz de darle sentido a "invariancia bajo difeomorfismos locales de la relatividad general", y en una búsqueda rápida no he encontrado nada. Lo que sí hay es la invariancia bajo difeomorfismos, que es una manera de decir que las ecuaciones de RG son las mismas en cualquier sistema de coordenadas (que es claro pues es una igualdad de tensores, que tiene una formulación intrínseca, sin coordenadas).

¿Los difeomorfismos  de la invariancia bajo difeomorfismos no son locales? Es invariancia a cambios de coordenadas o cartas  locales, ¿no?