Autor Tema: Demostraciones de topología.

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18 Marzo, 2021, 01:56 pm
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Florruiz

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Hola necesito de su ayuda, estoy viendo la materia de topología, en internet hay muy poca información del tema. A otros que he consultado ni siquiera han oído hablar de topología. Quiero que con ejemplo sino es mucho pedir, me expliquen estas definiciones por favor.
a) demostrar que el siguiente subespacio  de R es compacto \(  x = \{0\} \cup{}\{1/n : n \in{z}\} \)
b) Todo subespacio cerrado de un espacio métrico compacto X , es también compacto.
C)todo conjunto compacto en un espacio metrico es precompacto.

18 Marzo, 2021, 02:02 pm
Respuesta #1

sugata

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Yo ni idea.
Busca el libro de topologia de Carlos Ivorra.
Aquí la gente lo sigue y parece que está muy bien.

18 Marzo, 2021, 02:12 pm
Respuesta #2

Masacroso

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Hola necesito de su ayuda, estoy viendo la materia de topología, en internet hay muy poca información del tema. A otros que he consultado ni siquiera han oído hablar de topología.

Yo veo que en internet hay muchísima información sobre topología, tanto en castellano como en inglés, por ejemplo en el siguiente enlace tienes muchos textos (en castellano) explicando los conceptos necesarios para resolver sobre todo lo que preguntas:

https://www.google.com/search?q=topolog%C3%ADa+pdf


18 Marzo, 2021, 02:38 pm
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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18 Marzo, 2021, 03:07 pm
Respuesta #4

martiniano

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Hola.

Con la topología no estoy muy suelto todavía, pero no te preocupes, que si me equivoco alguien nos echará una mano.

Para el primero ten en cuenta que en todo recubrimiento abierto de \( x \) habrá un abierto que contendrá al cero y, junto a él, infinitos elementos de \( x \), quedando fuera sólo un número finito de elementos de \( x \). Luego puedes formar un subrecubrimiento finito con ese abierto y, como mucho, un abierto más por cada elemento que haya quedado fuera.

Un saludo.

18 Marzo, 2021, 05:52 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Hola necesito de su ayuda, estoy viendo la materia de topología, en internet hay muy poca información del tema. A otros que he consultado ni siquiera han oído hablar de topología. Quiero que con ejemplo sino es mucho pedir, me expliquen estas definiciones por favor.
a) demostrar que el siguiente subespacio  de R es compacto \(  x = \{0\} \cup{}\{1/n : n \in{z}\} \)

Por ampliar la respuesta dada por martiniano.

Si utilizas sólo la definición topológica de compacidad: una espacio métrico es compacto si y sólo si de todo recubrimiento por abiertos puedes obtener un subrecubrimiento finito, la demostración es la indicada por martiniano.

También puede utilizarse que en \( \Bbb R \) un conjunto es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.  Está claro que el conjunto \( X \) dado es acotado, porque está contenido en el intervalo \( [0,1] \) y es fácil ver que es cerrado (inténtalo).

También puede usarse (y sería una tercera opción) que en un espacio métrico compacto equivale a secuencialmente compacto, es decir, a que toda sucesión convergente tiene una subsucesión convergente. Pero es inmediato ver que en el espacio dado \( X= \{0\} \cup{}\{1/n : n \in{\Bbb z}\} \) cualquier posible sucesión o bien tiene algún término repetido infinitas veces, con lo cual tendría una subsucesión constante; o bien contiene una subsucesión de \( \{1/n\} \) y necesariamente converge a \( 0 \).

Citar
b) Todo subespacio cerrado de un espacio métrico compacto \( X \) , es también compacto.

Si usas la definición topológica de compacidad. Si \( X \) es compacto y tienes \( Y\subset X \) cerrado, entonces dado un recubrimiento de \( Y \) por abiertos (en \( Y \))  \( \{U_i\} \) cada uno de ellos es de la forma \( U_i=V_i\cap Y \) con \( V_i \) abierto de \( X \). Entonces \( \{V_i\}\cup X\setminus Y \) es un recubrimiento por abiertos de \( X \). Por ser \( X \) compacto tiene un subrecubrimiento finito \( \{V_{i_k}\}_{k=1}^n\cup X\setminus Y \). Comprueba que \( \{U_{i_k}\} \) es un subrecubrimiento finito de \( Y \).

Si usas la compacidad secuencia. Si \( X \) es compacto y tienes \( Y\subset X \) cerrado, entonces toda sucesión en \( Y \) es una sucesión en \( X \). Por ser \( X \) compacto esa sucesión tiene una subsucesión en \( Y \) convergente en \( X \); por ser \( Y \) cerrado su límite está en \( Y \).

Citar
C)todo conjunto compacto en un espacio metrico es precompacto.

Entiendo que precompacto se refiere a un conjunto cuya clausura es compacta.

Pero basta tener en cuenta entonces que todo compacto en un espacio métrico es cerrado y por tanto coincide con su clausura.

Spoiler
De hecho todo compacto en un espacio topológico Hausdorff es compacto. Y un espacio métrico es Hausdorff.  Pues intentar demostrarlo.
[cerrar]

Saludos.

P.D. Por supuesto para entender bien todo esto necesitas haber estudiado algo de teoría sobre topología y/o espacios métricos. Si necesitas alguna aclaración dilo.

19 Marzo, 2021, 05:08 pm
Respuesta #6

Florruiz

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Muchas gracias por el apoyo.