Autor Tema: Plano que contiene a una curva

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14 Marzo, 2021, 09:54 am
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mxxny

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Hola, tengo una duda relacionada con el siguiente problema:

En $$\mathbb{R}^{3}$$ se considera el subconjunto $$C$$ definido como:

$$ C=\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}-z=(x-1)^{2}+y^{2}-1=0 \} $$

Se pide comprobar que la curva cuya traza es $$C$$ es plana y calcular el plano que contiene a su traza.

Sé que una curva es plana si se puede contener en un plano, así que he intentado calcular el plano que contiene a $$C$$, para así justificar que efectivamente es plana (tengo una idea intuitiva de que va a ser plana por ser su traza intersección de un paraboloide y un cilindro). Mi duda viene a la hora de calcular el plano que contiene a la curva; mediante las ecuaciones que definen a $$C$$ puedo obtener $$2x=z$$, que es la ecuación de un plano que cumplen todos los puntos de $$C$$. ¿Sería ese un razonamiento correcto para hallar el plano?

Gracias de antemano.

14 Marzo, 2021, 10:06 am
Respuesta #1

geómetracat

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Sí. Como cualquier punto de \[ C \] debe cumplir ambas ecuaciones a la vez, también debe cumplir la ecuación que se obtiene restando las dos, que es \[ 2x-z=0 \].
Por tanto, \[ C \] debe estar contenida en el plano \[ 2x=z \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

14 Marzo, 2021, 10:16 am
Respuesta #2

mxxny

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Perfecto, muchas gracias.

14 Marzo, 2021, 11:34 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

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        Un poco al margen del hilo, pero relacionado con él, si la curva viene dada en paramétricas \( x=x(t) \), \( y=y(t) \), \( z=z(t) \), entonces se puede proceder como en http://fernandorevilla.es/blog/2014/04/16/una-curva-plana/, o bien demostrar que el plano osculador para todo \( t \) es constante, siendo éste plano el que contiene a la curva.

14 Marzo, 2021, 05:12 pm
Respuesta #4

mxxny

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Muchas gracias por el enlace, Fernando Revilla, me ha sido de utilidad. Con respecto a lo del plano osculador, es un concepto que aún no conozco, pero seguro que me será útil dentro de poco. Un saludo.