Autor Tema: Espacios conexos

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12 Marzo, 2021, 06:05 pm
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JordiMath

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Un par de dudas sobre conexión del libro de Topología de Carlos Ivorra.

En el ejemplo A.19 (pág. 485) se expone el ejemplo del seno del topólogo, que es el subespacio \( X \) de \( [0,1]^2 \) donde los segmentos verticales tienen como primera coordenada igual a 1/n para n=1,2,3... \( X \) es un subespacio arcoconexo pero su clausura \( \overline{X} \) no lo es.

Para entender el fondo del tema, hablando en términos coloquiales, podemos decir que \( \overline{X} \) no es arcoconexa porque la “serpiente” que representa la gráfica de \( X \) no tiene lugar de conexión cierto con el segmento {0}x[0,1]. Es decir, que puede “conectar” por cualquier \( y\in{[0,1]} \). Lo mismo sirve para que \( \overline{X} \) no sea localmente conexa. Pero no obstante, \( \overline{X} \) sí es conexo. ¿El motivo es que el segmento {0}x[0,1] no es un abierto?

Es decir, un espacio \( \overline{X} \) no es conexo si hay dos abiertos (y cerrados) disjuntos A y B tal que \( \overline{X}=A\cup{B} \). En este sentido, si consideramos \( A=\{0\}\times{[0,1]} \) y \( B=X \), entonces \( \overline{X}=A\cup{B} \) pero A no es abierto, con lo que no cumple la definición de espacio disconexo, con lo que es conexo. ¿Es así?

El segundo ejemplo es el A.22 (pág. 486), que es el espacio \( X \) formado por los segmentos \( [0,1]\times{\{1/n\}} \) para n=1,2,3... junto con \( ([0,1]\times{\{0\}})\setminus\{(1/2,0)\} \), en que las componentes conexas no coinciden con las cuasicomponentes.

Está claro que las componentes conexas de este espacio son los abiertos cerrados:
\( A=[0,1]\times{\{1/n\}} \)
\( B=[0,1/2[\times{\{0\}} \)
\( C=]1/2,1]\times{\{0\}} \)

pero no entiendo cuando se dice que \( Q=([0,1]\times{\{0\}})\setminus\{(1/2,0)\} \) es una cuasicomponente y se argumenta del siguiente modo:
Si U es un abierto cerrado en \( X \) que contiene, por ejemplo, a (0,0), tiene que contener a todos los segmentos conexos \( [0,1]\times{\{1/n\}} \). ¿Qué tiene que ver esto con que Q sea una cuasicomponente?

Si una cuasicomponente de x es la intersección de todos los abiertos cerrados que contienen a x, ¿por qué Q es una cuasicomponente? Me refiero a que, por ejemplo, \( (0,0)\in{B} \) y también \( (0,0)\in{Q} \) pero \( B\cap{Q}=B \), y ello no encaja con que Q sea una cuasicomponente.

12 Marzo, 2021, 09:04 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Pero no obstante, \( \overline{X} \) sí es conexo. ¿El motivo es que el segmento {0}x[0,1] no es un abierto?

Es decir, un espacio \( \overline{X} \) no es conexo si hay dos abiertos (y cerrados) disjuntos A y B tal que \( \overline{X}=A\cup{B} \). En este sentido, si consideramos \( A=\{0\}\times{[0,1]} \) y \( B=X \), entonces \( \overline{X}=A\cup{B} \) pero A no es abierto, con lo que no cumple la definición de espacio disconexo, con lo que es conexo. ¿Es así?

Eso, por si sólo no es una demostración de que es conexo. Sólo pruebas que \( A\cup B \) no es una partición del conjunto en abiertos disjuntos no vacíos, básicamente porque \( A \) no es abierto. Pero eso, sin nada más, no quiere decir que no pudiera haber otras particiones en abiertos conjuntos no vacíos.

Es conexo porque en general la clausura de un conexo es conexa.

Entonces no se muy bien que énfasis quieres poner en que ese trozo \( A \) sea o no abierto. Se le puede añadir un abierto disjunto  a un conexo y que la unión sea conexa. Por ejemplo en \( \Bbb R \), se tiene que \( [0,1] \) es conexo y si le añadimos el abierto \( (1,2) \), la unión de ambas SI es conexa.

Saludos.

12 Marzo, 2021, 09:39 pm
Respuesta #2

JordiMath

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Me centro en ese segmento  \( A=\{0\}\times{[0,1]} \) porque el espacio X es conexo, arcoconexo y localmente conexo pero su clausura no es arcoconexa ni localmente conexa. La diferencia entre X y su clausura es únicamente ese segmento A. Por tanto si la clausura de X no fuese conexa entiendo que se debería únicamente a ese segmento A, ya que sin él es conexo. Pero interpreto que como ese segmento A es cerrado y no abierto, no puede suponer una partición ni afectar a que la clausura pudiera ser no conexa.

12 Marzo, 2021, 09:42 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Está claro que las componentes conexas de este espacio son los abiertos cerrados:
\( A=[0,1]\times{\{1/n\}} \)
\( B=[0,1/2[\times{\{0\}} \)
\( C=]1/2,1]\times{\{0\}} \)

Ojo:

1) \( A \) no es una única componente conexa. Para cada \( n\in \Bbb N \), \( [0,1]\times{\{1/n\}} \) es una componente conexa distinta (no estoy seguro si eso lo tenías o no claro).

2) Los conjuntos \( B \) y \( C \) no son abiertos. Esto entronca con lo que dices después; por ejemplo para \( B \) cualquier entorno del cero corta a las barras \( [0,1]\times{\{1/n\}} \) para \( n \) suficientemente grande.

Saludos.

12 Marzo, 2021, 09:48 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Me centro en ese segmento  \( A=\{0\}\times{[0,1]} \) porque el espacio X es conexo, arcoconexo y localmente conexo pero su clausura no es arcoconexa ni localmente conexa. La diferencia entre X y su clausura es únicamente ese segmento A. Por tanto si la clausura de X no fuese conexa entiendo que se debería únicamente a ese segmento A, ya que sin él es conexo. Pero interpreto que como ese segmento A es cerrado y no abierto, no puede suponer una partición ni afectar a que la clausura pudiera ser no conexa.

mmmm.. pero yo insisto: la propiedad de que si un conjunto \( X \) es conexo su clausura es conexa es general. No tiene nada que ver con este ejemplo. Así que no acabo de entender muy bien por donde vas...

Saludos.

12 Marzo, 2021, 09:54 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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Respecto a esto:

El segundo ejemplo es el A.22 (pág. 486), que es el espacio \( X \) formado por los segmentos \( [0,1]\times{\{1/n\}} \) para n=1,2,3... junto con \( ([0,1]\times{\{0\}})\setminus\{(1/2,0)\} \), en que las componentes conexas no coinciden con las cuasicomponentes.

Está claro que las componentes conexas de este espacio son los abiertos cerrados:
\( A=[0,1]\times{\{1/n\}} \)
\( B=[0,1/2[\times{\{0\}} \)
\( C=]1/2,1]\times{\{0\}} \)

pero no entiendo cuando se dice que \( Q=([0,1]\times{\{0\}})\setminus\{(1/2,0)\} \) es una cuasicomponente y se argumenta del siguiente modo:
Si U es un abierto cerrado en \( X \) que contiene, por ejemplo, a (0,0), tiene que contener a todos los segmentos conexos \( [0,1]\times{\{1/n\}} \). ¿Qué tiene que ver esto con que Q sea una cuasicomponente?

Si una cuasicomponente de x es la intersección de todos los abiertos cerrados que contienen a x, ¿por qué Q es una cuasicomponente? Me refiero a que, por ejemplo, \( (0,0)\in{B} \) y también \( (0,0)\in{Q} \) pero \( B\cap{Q}=B \), y ello no encaja con que Q sea una cuasicomponente.

Sea \( U \) un abierto cerrado que contenga a \( (0,0) \). Como la sucesión \( \{(0, 1/n\}_n \) converge a \( (0, 0) \), todos sus términos, a partir de uno dado, tienen que estar en \( U \). Si \( (0, 1/n)\in U \), entonces \( U\cap ([0,1]\times\{1/n\})\neq\emptyset \) y es un abierto cerrado no vacío en \( [0,1]\times\{1/n\} \), pero este espacio es conexo, luego no tiene más abiertos cerrados que el vacío y todo el espacio. Concluimos que  \( U\cap ([0,1]\times\{1/n\})=[0,1]\times\{1/n\} \) o, lo que es lo mismo, \( [0,1]\times\{1/n\}\subset U \), para todo \( n \) suficientemente grande.

Esto implica a su vez que las sucesiones \( \{(x, 1/n)\}_{n} \) con \( x\in [0,1]\setminus\{0\} \) están finalmente contenidas en \( U \), por lo que sus límites \( (x, 0)\in U \) (ya que \( U \) es cerrado). Por lo tanto \( Q\subset U \), luego \( Q \) está contenido en todos los abiertos cerrados que contienen a \( (0,0) \), luego está contenido en la intersección de todos ellos, que es la cuasicomponente de \( (0,0) \).

Por otro lado, si \( (x, 1/n) \) es cualquier punto de \( X\setminus Q \), tenemos que \( U=\{(x, y)\in X\mid y<1/n\} \) es un abierto cerrado que contiene a \( (0,0) \) que no contiene a  \( (x, 1/n) \), por lo que la cuasicomponente de \( (0,0) \) no contiene al punto dado y se reduce al propio conjunto Q.

Por lo demás, no se me ocurre qué añadir a lo que ya te ha dicho Luis.

12 Marzo, 2021, 11:39 pm
Respuesta #6

JordiMath

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Ejemplo A.22

Replanteo dudas. Las componentes conexas son:

1. Todos los segmentos tipo \( A=[0,1]\times{\{1/n\}} \)
2. El segmento \( B=[0,1/2[\times{\{0\}} \)
3. El segmento \( C=]1/2,1]\times{\{0\}} \)

Por tanto, \( X=\cup{A}\cup{B}\cup{C} \). Y por ello, ¿no son todas las componentes conexas abiertas y cerradas? Lo digo porque Luis dice que B y C no son abiertos.

Respecto a la cuasicomponente Q, no entiendo por qué es una cuasicomponente y no dos. Es decir, ¿por qué la cuasicomponente es \( Q=([0,1]\times{\{0\}})\setminus{\{(1/2,0)\}} \) y no dos cuasicomponentes que coinciden con los segmentos B y C? Porque por ejemplo el punto (0,0) no está en el segmento C, pero se incluye ese segmento en Q.

Aparte de eso, ¿todos los segmentos tipo A también son cuasicomponentes? Porque en la definición de cuasicomponente se dice que \( C(x)\subset{Q(x)} \) (la componente conexa de x está contenida en la cuasicomponente de x). Por ejemplo, si el segmento \( [0,1]\times{\{1/2\}} \) es componente conexa del punto, por ejemplo (1/2,1/2), ¿la cuasicomponente de ese mismo punto es el mismo segmento y sería otra cuasicomponente en este espacio?


12 Marzo, 2021, 11:49 pm
Respuesta #7

Carlos Ivorra

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Ejemplo A.22

Replanteo dudas. Las componentes conexas son:

1. Todos los segmentos tipo \( A=[0,1]\times{\{1/n\}} \)
2. El segmento \( B=[0,1/2[\times{\{0\}} \)
3. El segmento \( C=]1/2,1]\times{\{0\}} \)

Cierto.

Por tanto, \( X=\cup{A}\cup{B}\cup{C} \). Y por ello, ¿no son todas las componentes conexas abiertas y cerradas? Lo digo porque Luis dice que B y C no son abiertos.

Luis es muy monótono: siempre tiene razón. La sucesión \( \{(0,1/n)\} \) converge a \( (0,0)\in B \), si \( B \) fuera abierto, contendría todos los términos de la sucesión a partir de uno dado, y no contiene a ninguno, luego no es abierto. En otros términos, \( (0,0) \) está en la clausura del complementario de \( B \), luego dicho complementario no es cerrado.

Respecto a la cuasicomponente Q, no entiendo por qué es una cuasicomponente y no dos. Es decir, ¿por qué la cuasicomponente es \( Q=([0,1]\times{\{0\}})\setminus{\{(1/2,0)\}} \) y no dos cuasicomponentes que coinciden con los segmentos B y C? Porque por ejemplo el punto (0,0) no está en el segmento C, pero se incluye ese segmento en Q.

Te lo he demostrado en mi mensaje anterior. ¿Qué tienes que objetar a la demostración? Te he probado que un abierto cerrado \( U \) que contenga a \( (0,0) \) contiene a todo \( Q=B\cup C \), no sólo a \( B \), por lo que \( Q \) está contenido en la cuasicomponente de \( (0,0) \).

Aparte de eso, ¿todos los segmentos tipo A también son cuasicomponentes? Porque en la definición de cuasicomponente se dice que \( C(x)\subset{Q(x)} \) (la componente conexa de x está contenida en la cuasicomponente de x). Por ejemplo, si el segmento \( [0,1]\times{\{1/2\}} \) es componente conexa del punto, por ejemplo (1/2,1/2), ¿la cuasicomponente de ese mismo punto es el mismo segmento y sería otra cuasicomponente en este espacio?

Sí, todos son cuasicomponentes. Como tú mismo dices, si \( x\in [0,1]\times\{1/n\} \), entonces \( [0,1]\times \{1/n\}=C(x)\subset Q(x) \), y la inclusión contraria se da porque \( [0,1]\times \{1/n\} \) es abierto y cerrado, luego \( Q(x)\subset [0,1]\times\{1/n\} \).

13 Marzo, 2021, 01:14 pm
Respuesta #8

JordiMath

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Vale, entendido el concepto de que Q ha de estar contenido en un abierto cerrado U, que está compuesto por todos los segmentos \( [0,1]\times{\{1/n\}} \) incluido el segmento \( [0,1]\times{\{0\}} \) al que convergen aquellos. Y también entendido que como solo este último segmento contiene al punto (0,0) entonces Q ha de ser este segmento entero.

Solo me queda confirmar o aclarar la definición de componente conexa y de cuasicomponente conexa.

Una componente conexa es la unión de todos los subespacios conexos que contienen a x. En mi interpretación un subespacio conexo T es un abierto cerrado porque no contiene ningún otro abierto cerrado que no sea el conjunto vacío. Y como el conjunto vacío es un abierto cerrado, obviamente T también lo es. Pero la unión de subespacios conexos, que es una componente conexa, no tiene por qué ser un abierto cerrado. En este ejemplo mismo, el segmento \( [0,1/2[\times{\{1/n\}} \) es una componente conexa y no es un abierto.

Del mismo modo, una cuasicomponente conexa es la intersección de abiertos cerrados que contienen a x, pero no necesariamente esa intersección ha de ser un abierto cerrado. En este ejemplo, el segmento \( [0,1]\times{\{0\}} \) es una cuasicomponente conexa y entiendo que tampoco es un abierto.

¿Es correcto?

13 Marzo, 2021, 01:40 pm
Respuesta #9

geómetracat

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Solo me queda confirmar o aclarar la definición de componente conexa y de cuasicomponente conexa.

Una componente conexa es la unión de todos los subespacios conexos que contienen a x.

Correcto. También es el mayor subespacio conexo que contiene a \[ x \] (recuerda que unión de conexos que tienen un punto en común es conexo).

Citar
En mi interpretación un subespacio conexo T es un abierto cerrado porque no contiene ningún otro abierto cerrado que no sea el conjunto vacío. Y como el conjunto vacío es un abierto cerrado, obviamente T también lo es.
No. Un subespacio conexo no tiene por qué ser abierto cerrado (en el espacio grande). Por ejemplo, un intervalo \[ (a,b] \] de \[ \Bbb R \] es conexo, pero no es abierto ni cerrado.

Citar
Pero la unión de subespacios conexos, que es una componente conexa, no tiene por qué ser un abierto cerrado. En este ejemplo mismo, el segmento \( [0,1/2[\times{\{1/n\}} \) es una componente conexa y no es un abierto.
Como he dicho antes, las componentes conexas son en particular subespacios conexos. Las componentes conexas son siempre cerradas (porque la clausura de un conexo es conexa) pero no tienen por qué ser abiertas.

Citar
Del mismo modo, una cuasicomponente conexa es la intersección de abiertos cerrados que contienen a x, pero no necesariamente esa intersección ha de ser un abierto cerrado.
Correcto. Las cuasicomponentes siempre son cerradas (por ser intersección de cerrados) pero no necesariamente abiertas.

Citar
En este ejemplo, el segmento \( [0,1]\times{\{0\}} \) es una cuasicomponente conexa y entiendo que tampoco es un abierto.
Supongo que quieres decir \( ([0,1]\times{\{0\}}) \setminus \{(1/2,0)\} \), ya que el punto \[ (1/2,0) \] no está en el espacio. En ese caso sí, es una cuasicomponente conexa, pero no es abierto, pues cualquier entorno de \[ (0,0) \], por ejemplo, debe contener puntos de algún segmento \[ [0,1]\times \{1/n\} \] para \[ n \] suficientemente grande.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)