Autor Tema: Proporcionalidad de triángulos

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17 Enero, 2021, 12:34 am
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carambola

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En el triángulo rectángulo $$\triangle{ACB}$$, donde $$AC\perp{BC}$$, $$AE\equiv{AC}$$, $$BD\equiv{BC}$$, $$EF || AC$$ i $$DG || BC$$. Demuestra que $$DE \equiv{EF+DG}$$.
 
Muchas gracias!



17 Enero, 2021, 08:23 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

En el triángulo rectángulo $$\triangle{ACB}$$, donde $$AC\perp{BC}$$, $$AE\equiv{AC}$$, $$BD\equiv{BC}$$, $$EF || AC$$ i $$DG || BC$$. Demuestra que $$DE \equiv{EF+DG}$$.

Revisa el enunciado. Es posible que falte alguna condición. Si no se me escapa nada, tal y como está, las distancias implicadas en la igualdad a demostrar son un tanto arbitrarias.

Un saludo.

17 Enero, 2021, 08:56 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

En el triángulo rectángulo $$\triangle{ACB}$$, donde $$AC\perp{BC}$$, $$AE\equiv{AC}$$, $$BD\equiv{BC}$$, $$EF || AC$$ i $$DG || BC$$. Demuestra que $$DE \equiv{EF+DG}$$.

Por incidir en lo que apunta martiniano fíjate que la única condición sobre el punto \( F \) es \( EF || AC \), de manera que \( F \) puede alejarse todo lo que queramos del punto \( E \) sobre una paralela a \( AC \) sin dejar de cumplir la condición, pero variando arbitrariamente la distancia \( EF \).

Saludos.

17 Enero, 2021, 01:50 pm
Respuesta #3

carambola

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En el triángulo rectángulo $$\triangle{ACB}$$, donde $$AC\perp{BC}$$, $$AE\equiv{AC}$$, $$BD\equiv{BC}$$, $$EF || AC$$ i $$DG || BC$$.



Demuestra que $$DE \equiv{EF+DG}$$.

Ahora sí que está bien el enunciado con su correspondiente imagen

17 Enero, 2021, 02:38 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

 Con las proporciones adecuadas el dibujo es así:



 Por semejanza entres los triángulos \( ADG \) y \( ABC \):

\(  \dfrac{GD}{DB}=\dfrac{AB-DB}{AB} \)

 Por semejanza entres los triángulos \( EFB \) y \( ABC \):

\(  \dfrac{EF}{AE}=\dfrac{AB-AE}{AB} \)

 Combinando ambas cosas:

\( GC+EF=\dfrac{1}{AB}(DB(AB-DB)+AE(AB-AE))=\dfrac{1}{AB}(AB(DB+AE)-(DB^2+AE^2))=\dfrac{1}{AB}(AB(DB+AE)-(BC^2+AC^2))=\\=\dfrac{1}{AB}(AB(DB+AE)-AB^2)=(DB+AE-AB)=DE. \)

Saludos.

17 Enero, 2021, 03:16 pm
Respuesta #5

carambola

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Muchas gracias!
Tengo dos dudas:

1. Como llegas a la proporcionalidad de los lados del triangulo. No lo llego a ver del todo

2.Cuando sumas los dos lados, como pasas de $$DB^2+AE^2$$ a $$BC^2+AC^2$$

17 Enero, 2021, 04:12 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Muchas gracias!
Tengo dos dudas:

1. Como llegas a la proporcionalidad de los lados del triangulo. No lo llego a ver del todo

Los triángulos \( ABC \) y \( AGD \) son semejantes. ¿De acuerdo? Tienen el ángulo \( A \) (los lados que lo comprenden) común y los lados opuestos a éste paralelos entre si.

Entonces utilizo la proporcionalidad de los catetos menores de cada uno de los dos triángulos y las hipotenusas. Quizá me faltó este paso para que lo veas más claro:

\( \dfrac{GD}{CB}=\dfrac{AD}{AB} \)

Luego como \( CB=DB \) y \( AD=AB-DB \):

\( \dfrac{GD}{DB}=\dfrac{AB-DB}{AB} \)

Citar
2.Cuando sumas los dos lados, como pasas de $$DB^2+AE^2$$ a $$BC^2+AC^2$$

Porque por hipótesis \( DB=BC \) y \( AE=AC \).

Saludos.

17 Enero, 2021, 06:19 pm
Respuesta #7

carambola

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