[mg]

Hola,

El ejercicio es el siguiente.

Sea \( X=(0,1] \) y \( d \) una distancia tal que \( d(x,y)=\left |{\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{y}}\right | \). Probar que \( X \) con la métrica inducida por \( d \) es un espacio completo.

Le he dado varias vueltas. Parto de una sucesión de Cauchy contenida en X, pero por más vueltas que le doy no consigo ver la forma de probar que es convergente. Se me ocurre probar que la sucesión debe ser monótona pero tampoco encuentro la forma. En fin, si quieren me pueden dar pistas y voy intentandolo con la ayuda a ver si sale.

Un saludo

[Gustavo]

Hola. Nota que si \( f:([1,+\infty),d_1) \to ((0,1],d) \) es \( f(x) = 1/x \) y \( d_1 \) es la distancia usual en \( \mathbf R \), entonces \( f \) es una isometría. Como la completitud se preserva con isometrías, hay que probar que \( [1,+\infty) \) es completo. Ésto último se sigue por ejemplo de que \( [1,+\infty)\subset \mathbf R \) es cerrado y \( \mathbf R \) es completo.

[Masacroso]

Ah, qué bonita la forma de resolverlo de Gustavo, no se me habría ocurrido. Aquí tienes otra forma, quizá más directa pero que esencialmente es lo mismo: supón que \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) es Cauchy, entonces dado un \( \epsilon >0 \) cualquiera sabes que existe un \( N_\epsilon \in \mathbb N  \) tal que \( |x_n-x_m|<\epsilon |x_nx_m| \) para todo \( n,m> N_\epsilon  \).

Como \( |x_nx_m|\leqslant 1 \) entonces tienes que \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) es Cauchy con la función de distancia usual en \( \mathbb{R} \) ya que \( |x_n-x_m|<\epsilon  \). Por tanto tienes un candidato a límite \( L\in [0,1] \). A partir de ahí es inmediato demostrar que si \( L\neq 0 \) entonces \( \lim_{n\to\infty}\left|\frac1{x_n}-\frac1L\right|=0 \). Entonces sólo te quedaría por demostrar que si \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) es Cauchy en tu espacio entonces \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) no puede ser una sucesión nula (i.e., converger a cero) en el espacio métrico usual.

[mg]

Hola. Nota que si \( f:([1,+\infty),d_1) \to ((0,1],d) \) es \( f(x) = 1/x \) y \( d_1 \) es la distancia usual en \( \mathbf R \), entonces \( f \) es una isometría. Como la completitud se preserva con isometrías, hay que probar que \( [1,+\infty) \) es completo. Ésto último se sigue por ejemplo de que \( [1,+\infty)\subset \mathbf R \) es cerrado y \( \mathbf R \) es completo.

Ciertamente es muy bonito. Gracias.

Ah, qué bonita la forma de resolverlo de Gustavo, no se me habría ocurrido. Aquí tienes otra forma, quizá más directa pero que esencialmente es lo mismo: supón que \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) es Cauchy, entonces dado un \( \epsilon >0 \) cualquiera sabes que existe un \( N_\epsilon \in \mathbb N  \) tal que \( |x_n-x_m|<\epsilon |x_nx_m| \) para todo \( n,m> N_\epsilon  \).

Como \( |x_nx_m|\leqslant 1 \) entonces tienes que \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) es Cauchy con la función de distancia usual en \( \mathbb{R} \) ya que \( |x_n-x_m|<\epsilon  \). Por tanto tienes un candidato a límite \( L\in [0,1] \). A partir de ahí es inmediato demostrar que si \( L\neq 0 \) entonces \( \lim_{n\to\infty}\left|\frac1{x_n}-\frac1L\right|=0 \). Entonces sólo te quedaría por demostrar que si \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) es Cauchy en tu espacio entonces \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) no puede ser una sucesión nula (i.e., converger a cero) en el espacio métrico usual.

Aquí va todo bien hasta que dices que tengo un candidato a límite en \( [0,1] \). No sé de donde sale esa conclusión.

Gracias a ambos

[Masacroso]

Aquí va todo bien hasta que dices que tengo un candidato a límite en \( [0,1] \). No sé de donde sale esa conclusión.

Gracias a ambos

De que la sucesión es Cauchy en el espacio métrico usual de \( [0,1] \).

[mg]

Claro, porque \( \mathbb{R} \) con la usual es completo, entonces \( \left\{{x_n}\right\} \) ha de ser convergente.

Gracias.