Autor Tema: Duda en teoremas 6.4 y 6.6 del libro topología de Carlos Ivorra

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16 Febrero, 2021, 07:21 pm
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Eparoh

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Hola a todos, estoy estudiando el capítulo 6 sobre espacios polacos del libro Topología de Carlos Ivorra y tengo un par de dudas sobre dos proposiciones en la sección 6.1

La primera es relativa al teorema 6.4 y es sobre la parte en la que se establece que

\( B=\displaystyle{\bigcup_{V \in \mathcal{F}_B'} V} \)

No se como ver esta igualdad, pues me está liando un poco la arbitrariedad en la elección de los \( V \).

La segunda duda es respecto al teorema 6.6, donde no veo del todo claro que la compactificación por un punto \( X^\infty \) tenga también una base numerable.
Mi intuición me dice que si es \( \mathcal{B} \) una base numerable de \( X \) formada por abiertos con clausura compacta, la cual existe por lo establecido anteriormente en el teorema, entonces

\( \mathcal{B}^\infty = \mathcal{B} \cup \left\{\left(X \setminus \bar U \right) \cup \{\infty\}: U \in \mathcal{B}  \right\} \)

podría ser un candidato a dicha base buscada, sin embargo no consigo ver que sea realmente una base de \( X^\infty \).
¿Es este camino correcto o existe otra forma de ver este hecho?

Un saludo y gracias por las respuestas.

18 Febrero, 2021, 11:24 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola a todos, estoy estudiando el capítulo 6 sobre espacios polacos del libro Topología de Carlos Ivorra y tengo un par de dudas sobre dos proposiciones en la sección 6.1

La primera es relativa al teorema 6.4 y es sobre la parte en la que se establece que

\( B=\displaystyle{\bigcup_{V \in \mathcal{F}_B'} V} \)

No se como ver esta igualdad, pues me está liando un poco la arbitrariedad en la elección de los \( V \).

Pongo el fragmento en el que se basa tu duda para contextualizar mejor:



Fíjate que dado \( x\in B \), por ser \( B \) abierto y  \( {\cal B}' \) base, necesariamente existe un \( W \in {\cal B}' \) tal que \( x\in W\subset B \). Por ser \( {\cal B} \) base, existe un \( U\in {\cal B} \) tal que \( x\in U\subset W\subset B \). Por tanto \( U\in  \mathcal{F}_B \).

Ahora el \( V\in \mathcal{F}_B' \) que hemos escogido que contiene a \( U \), en particular contiene a \( x \).

En otras palabras: hemos visto que para cualquier \( x\in B \) existe \( V\in \mathcal{F}_B' \) con \( x\in V\subset B \).

Saludos.

18 Febrero, 2021, 11:35 am
Respuesta #2

Carlos Ivorra

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Acabo de ver el hilo. Se me había pasado. Lo siento.   :(

18 Febrero, 2021, 11:52 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

La segunda duda es respecto al teorema 6.6, donde no veo del todo claro que la compactificación por un punto \( X^\infty \) tenga también una base numerable.
Mi intuición me dice que si es \( \mathcal{B} \) una base numerable de \( X \) formada por abiertos con clausura compacta, la cual existe por lo establecido anteriormente en el teorema, entonces

\( \mathcal{B}^\infty = \mathcal{B} \cup \left\{\left(X \setminus \bar U \right) \cup \{\infty\}: U \in \mathcal{B}  \right\} \)

podría ser un candidato a dicha base buscada, sin embargo no consigo ver que sea realmente una base de \( X^\infty \).



Tienes que tomar:

\( \mathcal{B}^\infty = \mathcal{B} \cup \left\{\left(X \setminus  \bigcup_{i=1}^k\bar U_i \right) \cup \{\infty\}: U_i \in \mathcal{B},\,k\in \Bbb N  \right\} \)

Para ver que es base, lo relevante es que puedes cubrir cualquier compacto por un número finito de abiertos \( U\in \mathcal{B} \).

Saludos.

19 Febrero, 2021, 10:05 am
Respuesta #4

Eparoh

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Hola, muchas gracias por las respuestas.

Fíjate que dado \( x\in B \), por ser \( B \) abierto y  \( {\cal B}' \) base, necesariamente existe un \( W \in {\cal B}' \) tal que \( x\in W\subset B \). Por ser \( {\cal B} \) base, existe un \( U\in {\cal B} \) tal que \( x\in U\subset W\subset B \). Por tanto \( U\in  \mathcal{F}_B \).

Ahora el \( V\in \mathcal{F}_B' \) que hemos escogido que contiene a \( U \), en particular contiene a \( x \).

En otras palabras: hemos visto que para cualquier \( x\in B \) existe \( V\in \mathcal{F}_B' \) con \( x\in V\subset B \).

Vale, era realmente sencillo. Me había liado yo solo por una cosa que hice antes  ::)

Tienes que tomar:

\( \mathcal{B}^\infty = \mathcal{B} \cup \left\{\left(X \setminus  \bigcup_{i=1}^k\bar U_i \right) \cup \{\infty\}: U_i \in \mathcal{B},\,k\in \Bbb N  \right\} \)

Para ver que es base, lo relevante es que puedes cubrir cualquier compacto por un número finito de abiertos \( U\in \mathcal{B} \).

Esto no lo llego aún a ver del todo.
Debemos ver que cualquier elemento de la forma \( (X \setminus K) \cap \{\infty\} \) donde \( K \) es compacto es unión de elementos de la base que has mostrado.
Entonces por ser \( K \) compacto y \( \mathcal{B} \) base de \( X \), se que existen \( U_1, \cdots, U_m \in \mathcal{B} \) tales que

\( K \subset \bigcup_{i=1}^m U_i \subset \bigcup_{i=1}^m \bar U_i \)

luego

\( X \setminus \bigcup_{i=1}^m \bar U_i \subset X \setminus K \)

pero, ¿cómo se consigue la igualdad?

Acabo de ver el hilo. Se me había pasado. Lo siento.   :(

Nada que sentir, la labor que hacéis todos los habituales en este foro ayudando siempre en la medida de lo posible y en particular la inmensa cantidad de información de tantísima calidad que hay en tus libros es más que de agradecer siempre.

19 Febrero, 2021, 10:20 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Esto no lo llego aún a ver del todo.
Debemos ver que cualquier elemento de la forma \( (X \setminus K) \cap \{\infty\} \) donde \( K \) es compacto es unión de elementos de la base que has mostrado.
Entonces por ser \( K \) compacto y \( \mathcal{B} \) base de \( X \), se que existen \( U_1, \cdots, U_m \in \mathcal{B} \) tales que

\( K \subset \bigcup_{i=1}^m U_i \subset \bigcup_{i=1}^m \bar U_i \)

luego

\( X \setminus \bigcup_{i=1}^m \bar U_i \subset X \setminus K \)

pero, ¿cómo se consigue la igualdad?

Es que no necesitas la igualdad. Para que el conjunto indicado sea base necesitas que para cualquier abierto \( W \) de \( X^\infty \) y cualquier \( x\in W \), exista un abierto básico \( B\in \mathcal{B}^\infty \) tal que \( x\in B\subset W \).

Entonces:

- Si \( x\neq\infty \), dado que \( W-\{\infty\} \) es abierto, basta que tomes un abierto básico de la base original.
- Si \( x=\infty\in W \) entonces el abierto básico es del tipo \( X\color{red}^\infty\color{black} \setminus \bigcup_{i=1}^m \bar U_i \) y te basta la inclusión que indicabas.

Saludos.

AÑADIDO (¡me olvidaba lo esencial!).

19 Febrero, 2021, 10:22 am
Respuesta #6

Carlos Ivorra

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luego

\( X \setminus \bigcup_{i=1}^m \bar U_i \subset X \setminus K \)

pero, ¿cómo se consigue la igualdad?

Es que no necesitas la igualdad. De lo que has probado se sigue que

\( (X \setminus \bigcup_{i=1}^m \bar U_i )\cup\{\infty\}\subset (X \setminus K)\cup\{\infty\} \),

es decir, has probado que, si \( \infty \in U\subset X^\infty \), donde \( U \) es abierto en \( X^{\infty} \), existe un \( U'\in \mathcal B^\infty \) tal que \( \infty\in U'\subset U \).

Por otro lado, lo mismo vale si partes de otro punto \( x\in U\subset X^\infty \), donde ahora \( x \) es un punto finito, porque en tal caso existe un \( U'\in \mathcal B\subset \mathcal B^\infty \) que cumple lo mismo.

En total, has demostrado que, para todo \( x\in X^\infty \) (finito o infinito) existe un \( U'\in \mathcal B\infty \) tal que \( x\in U'\subset U \), y eso equivale a que \( \mathcal B^\infty \) es base.

(Se me adelantó Luis.)

19 Febrero, 2021, 11:25 am
Respuesta #7

Eparoh

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¡Muchas gracias a ambos!
Había olvidado completamente esta sencilla caracterización de la base de una topología y estaba empeñado en encontrar la igualdad de golpe sin pasar por tomar puntos en el abierto. Todo aclarado ya  :laugh:

Un saludo.