Autor Tema: Restricción de una cuádrica

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08 Febrero, 2021, 09:11 pm
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mg

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Hola,

El ejercicio es el siguiente: Sea la cuádrica Q dada por \( x_0^2-2x_0x_1+2x_0x_2+2x_1x_3-x_2^2=0 \). Se pide comprobar si \( (0:2:2:1) \) pertenece a la cuádrica y, en caso afirmativo, hallar su plano polar H. Clasificar la cónica \( Q_{|H} \).

Comprobé que efectivamente el punto dado pertenece a la cuádrica y que el plano polar de P es \( H\equiv{}x_1-2x_2+2x_3=0 \) la matriz de la cuádrica \( Q_{|H} \) queda así:

\( \begin{pmatrix} 1&0&-1&2\\0&0&0&0\\-1&0&-1&2\\2&0&2&-4\end{pmatrix} \)

Ahora la cosa es que si yo "me olvido" de la columna y fila correspondientes a \( x_1 \) pues tendría la matriz de una cónica. Esto cuando se restringe la matriz de una cuádrica a un plano tipo \( x_0=0 \), lo veo claro pero con el plano de este ejercicio no. ¿Es decir, yo puedo ahora trabajar con la matriz
\( \begin{pmatrix} 1&-1&2\\-1&-1&2\\2&2&-4\end{pmatrix} \) ? Supongo que si pues al haber restringido a la cuádrica a un plano, estoy trabajando en un espacio que sería isomorfo a \( \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \).

Por otro lado, en \( \mathbb{P}^3 \), el espacio inicial, a mi se me da el punto \( (0:2:2:1) \), ¿cuales son las coordenadas de ese punto en H?

Por si alguien tiene curiosidad, la cónica serían dos rectas reales secantes en un punto.

Un saludo.

CORREGIDO

09 Febrero, 2021, 07:58 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

El ejercicio es el siguiente: Sea la cuádrica Q dada por \( x_0^2+-2x_0x_1+2x_0x_1+2x_1x_2-x_2^2=0 \). Se pide comprobar si \( (0:2:2:1) \) pertenece a la cuádrica y, en caso afirmativo, hallar su plano polar H. Clasificar la cónica \( Q_{|H} \).

Comprobé que efectivamente el punto dado pertenece a la cuádrica y que el plano polar de P es \( H\equiv{}x_1-2x_2+2x_3=0 \) la matriz de la cuádrica \( Q_{|H} \) queda así:

\( \begin{pmatrix} 1&0&-1&2\\0&0&0&0\\-1&0&-1&2\\2&0&2&-4\end{pmatrix} \)

En realidad lo que haces es despejar \( x_1 \) en el plano y sustituir en la cuádrica. Entonces lo que te queda es una cónica con coordenadas \( (x_0,x_2,x_4) \). Es decir ya no deberías de haber escrito esa matriz con esa fila y columna de ceros; si no está otra.

\( \begin{pmatrix} 1&-1&2\\-1&-1&2\\2&2&-4\end{pmatrix} \)

Técnicamente es la cónica proyección de \( Q|_H \) desde \( (0:1:0:0) \) sobre el plano \( x_1=0 \). Dado que trabajas proyectivamente el tipo de cónica es el mismo, ya que la proyección desde un punto es una homografía, y por tanto te vale para clasificar (afinmente habría que tener un poco más de cuidado).

Citar
Por otro lado, en \( \mathbb{P}^3 \), el espacio inicial, a mi se me da el punto \( (0:2:2:1) \), ¿cuales son las coordenadas de ese punto en H?


Las coordenadas del punto \( (0:2:2:1) \) del plano \( H \), en el plano \( H \) son... \( (0:2:2:1) \).  :D

Relfexiona un poco sobre si tiene sentido esa pregunta y sobre exactamente qué querías preguntar.

Cosa distinta es que en la proyección que mencioné antes (proyección desde \( (0:1:0:0) \) sobre el plano \( x_1=0 \)) ese punto se proyecte en  \( (0:\color{red}0\color{black}:2:1) \) o \( (0:2:1) \) si omitimos la coordenada \( x_1 \), que en el plano  \( x_1=0 \) siempre es nula y trabajamos con coordenadas \( (x_0:x_2:x_3) \).

Saludos.

09 Febrero, 2021, 01:49 pm
Respuesta #2

mg

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Hola

El ejercicio es el siguiente: Sea la cuádrica Q dada por \( x_0^2+-2x_0x_1+2x_0x_1+2x_1x_2-x_2^2=0 \). Se pide comprobar si \( (0:2:2:1) \) pertenece a la cuádrica y, en caso afirmativo, hallar su plano polar H. Clasificar la cónica \( Q_{|H} \).

Comprobé que efectivamente el punto dado pertenece a la cuádrica y que el plano polar de P es \( H\equiv{}x_1-2x_2+2x_3=0 \) la matriz de la cuádrica \( Q_{|H} \) queda así:

\( \begin{pmatrix} 1&0&-1&2\\0&0&0&0\\-1&0&-1&2\\2&0&2&-4\end{pmatrix} \)

En realidad lo que haces es despejar \( x_1 \) en el plano y sustituir en la cuádrica. Entonces lo que te queda es una cónica con coordenadas \( (x_0,x_2,x_4) \). Es decir ya no deberías de haber escrito esa matriz con esa fila y columna de ceros; si no está otra.

\( \begin{pmatrix} 1&-1&2\\-1&-1&2\\2&2&-4\end{pmatrix} \)

Técnicamente es la cónica proyección de \( Q|_H \) desde \( (0:1:0:0) \) sobre el plano \( x_1=0 \). Dado que trabajas proyectivamente el tipo de cónica es el mismo, ya que la proyección desde un punto es una homografía, y por tanto te vale para clasificar (afinmente habría que tener un poco más de cuidado).

Vale bien, en esto:

"Técnicamente es la cónica proyección de \( Q|_H \) desde \( (0:1:0:0) \) sobre el plano \( x_1=0 \). Dado que trabajas proyectivamente el tipo de cónica es el mismo, ya que la proyección desde un punto es una homografía, y por tanto te vale para clasificar (afinmente habría que tener un poco más de cuidado)."

es donde yo quiero profundizar un poquito, porque en la teoría no se han parado en esto. Que sea la proyección desde el \( (0:1:0:0) \), ¿Qué significa exactamente? ¿Que la variable en la que se está despejando en función de las otras dos es \( x_1 \)? Voy a ver que encuentro por internet sobre las proyecciones. Si sabes de algún lado donde pueda verlo más detenidamente dejámelo saber.

Un saludo.


09 Febrero, 2021, 06:12 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 Cuando tenga un rato (ahora estoy muy apurado) redacto una respuesta. Pero mientras, ¿puedes corregir la ecuación de la cuádrica?. Tienes alguna errata. Revísala.

Saludos.

09 Febrero, 2021, 06:23 pm
Respuesta #4

mg

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Hola,

Hola

 Cuando tenga un rato (ahora estoy muy apurado) redacto una respuesta. Pero mientras, ¿puedes corregir la ecuación de la cuádrica?. Tienes alguna errata. Revísala.

Saludos.
Arreglada la ecuación de la cuádrica. Y claro, cuando usted pueda, sin presión.

Un saludo.

11 Febrero, 2021, 10:12 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Arreglada la ecuación de la cuádrica. Y claro, cuando usted pueda, sin presión.

No, no está arreglada todavía:

El ejercicio es el siguiente: Sea la cuádrica Q dada por \( x_0^2\color{red}-2x_0x_1+2x_0x_1\color{black}+2x_1x_2-x_2^2=0 \). Se pide comprobar si \( (0:2:2:1) \) pertenece a la cuádrica y, en caso afirmativo, hallar su plano polar H. Clasificar la cónica \( Q_{|H} \).

Si fuera así los términos marcados en rojo se anularían. Quiero contestarte ilustrando la cuestión con este ejemplo concreto. Pero no puedo hasta que no escribas correctamente la ecuación de la cuádrica. Revísala con cuidado.

Saludos.

11 Febrero, 2021, 11:54 am
Respuesta #6

mg

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Arreglada la ecuación de la cuádrica. Y claro, cuando usted pueda, sin presión.

No, no está arreglada todavía:

El ejercicio es el siguiente: Sea la cuádrica Q dada por \( x_0^2\color{red}-2x_0x_1+2x_0x_1\color{black}+2x_1x_2-x_2^2=0 \). Se pide comprobar si \( (0:2:2:1) \) pertenece a la cuádrica y, en caso afirmativo, hallar su plano polar H. Clasificar la cónica \( Q_{|H} \).

Si fuera así los términos marcados en rojo se anularían. Quiero contestarte ilustrando la cuestión con este ejemplo concreto. Pero no puedo hasta que no escribas correctamente la ecuación de la cuádrica. Revísala con cuidado.

Saludos.

Es cierto, ahora ya si que sí.  :laugh:

11 Febrero, 2021, 11:59 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

El ejercicio es el siguiente: Sea la cuádrica Q dada por \( x_0^2-2x_0x_1+2x_0x_2+2x_1x_2-x_2^2=0 \). Se pide comprobar si \( (0:2:2:1) \) pertenece a la cuádrica y, en caso afirmativo, hallar su plano polar H. Clasificar la cónica \( Q_{|H} \).

¿Seguro que está bien? El punto que indicas no pertenece a esa cuádrica.

Saludos.

11 Febrero, 2021, 12:31 pm
Respuesta #8

mg

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Uy, que torpeza. Me esta dando vergüenza y todo.  :-[ Esta es la buena. El punto pertenece, nada se anula, no hay signos de más.

Un saludo.

12 Febrero, 2021, 12:30 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

 ¡Gracias! Ahora está bien la ecuación.

 Curiosamente al final no voy a usar esa cuádrica en concreto para explicar lo que quería, porque el gráfico termina por ser embarullado.  :P

 
"Técnicamente es la cónica proyección de \( Q|_H \) desde \( (0:1:0:0) \) sobre el plano \( x_1=0 \). Dado que trabajas proyectivamente el tipo de cónica es el mismo, ya que la proyección desde un punto es una homografía, y por tanto te vale para clasificar (afinmente habría que tener un poco más de cuidado)."

es donde yo quiero profundizar un poquito, porque en la teoría no se han parado en esto. Que sea la proyección desde el \( (0:1:0:0) \), ¿Qué significa exactamente? ¿Que la variable en la que se está despejando en función de las otras dos es \( x_1 \)? Voy a ver que encuentro por internet sobre las proyecciones.

 La idea de proyección es muy sencilla:

1) Fijas un punto \( A \) desde el cuál vas a proyectar.
2) Fijas un plano \( \pi \) sobre el cuál vas a proyectar.
3) Ahora la proyección del cualquier punto \( X \) desde el punto \( A \) sobre el plano \( \pi \), se obtiene intersecando la recta \( AX \) con el plano \( \pi \).

 Por ejemplo, observa el gráfico. Considera la elipse (circunferencia en concreto)contenida en el plano rosa. La proyectamos desde el punto \( A \).


 La proyección sobre el plano verde es igualmente una elipse.

 Sin embargo la proyección sobre el plano naranja es una parábola.
 
 Es decir desde el punto de vista de la clasificación afín de cónicas ha cambiado el tipo de cónica. El problema está en que un rayo de proyección que una \( A \) con un cierto punto de la circunferencia es paralelo al plano de proyección y por tanto no hay punto de corte (¡sería un punto del infinito!).

 El problema no existe sin embargo desde el punto de vista de la geometría proyectiva; no hay paralelismo; el plano y la recta "paralelos" se corta en un punto del infinito, que desde el punto de vista proyectivo es un punto como cualquier otro.

 En otras palabras dese el punto de vista de la geometría proyectiva, una proyección de un plano en otro desde un punto exterior a ellos es una homografía entre ambos.

 Por eso proyectivamente todas las cónicas no degeneradas son la misma; una parábola es una restricción afín de una elipse, tomando como recta del infinito una tangente a la misma; una hipérbola es una restricción afín de una elipse tomando como recta del infinito una secante.

 Si nos detenemos en la proyección desde el punto \( A=(0:1:0:0) \) sobre el plano \( x_1=0 \), algebraicamente puedes comprobar que proyecta un punto \( X=(x_0:x_1:x_2:x:3) \) en el punto \( X'=(x_0:0:x_2:x_3). \)

Saludos.