Autor Tema: Demuestra la inclusión

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07 Febrero, 2021, 01:38 pm
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mg

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola,

Me piden que demuestre que, si \( Z \) es una variedad lineal proyectiva y \( Q \) una cuádrica, entonces \( Z\subseteq{}polar_Q(polar_Q(Z)) \)

No debe ser dificil pero lo cierto esque no caigo en como hacerlo. Agradecería si me dieran alguna pistilla.

Hasta ahora lo que he hecho ha sido escribir explicitamente el sistema \( polar_Q(Z) \), pero ya después no se como seguir. Porque digamos que \( polar_Q(Z)=\left\{{R\in{}X/PAR^t=0,\;\forall{}P\in{}Z}\right\} \)(A es la matriz asociada a Q) entonces ¿\( RAP^t=0 \)? (con \( P\in{}Z, R\in{}polar_Q(Z) \)), no tiene por qué, ¿no?

Un saludo.

07 Febrero, 2021, 03:15 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Me piden que demuestre que, si \( Z \) es una variedad lineal proyectiva y \( Q \) una cuádrica, entonces \( Z\subseteq{}polar_Q(polar_Q(Z)) \)

No debe ser dificil pero lo cierto esque no caigo en como hacerlo. Agradecería si me dieran alguna pistilla.

Hasta ahora lo que he hecho ha sido escribir explicitamente el sistema \( polar_Q(Z) \), pero ya después no se como seguir. Porque digamos que \( polar_Q(Z)=\left\{{R\in{}X/PAR^t=0,\;P\in{}Z}\right\} \)(A es la matriz asociada a Q)

Quizá deberías de poner:

\( polar_Q(Z)=\left\{{R\in{}X/PAR^t=0,\;\color{red}\forall P\color{black}\in{}Z}\right\} \)

Citar
entonces ¿\( RAP^t=0 \)? (con \( P\in{}Z, R\in{}polar_Q(Z) \)), no tiene por qué, ¿no?

Si; eso es la idea.

Ten en cuenta que:

\( polar_q(Z)(polar_Q(Z))=\left\{{R\in{}X/PAR^t=0,\;\forall P\in{}polar_Q(Z))}\right\} \)

Dado \( z\in Z \) tienes que comprobar que para cualquier \( P\in polar_Q(Z) \), \( PAz^t=0 \).

Pero si \( P\in polar_Q(Z) \), como \( z\in Z \), entonces \( zAP^t=0 \) y \( trasponiendo, PAz^t=0 \).

Saludos.

07 Febrero, 2021, 05:16 pm
Respuesta #2

mg

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Hola

Me piden que demuestre que, si \( Z \) es una variedad lineal proyectiva y \( Q \) una cuádrica, entonces \( Z\subseteq{}polar_Q(polar_Q(Z)) \)

No debe ser dificil pero lo cierto esque no caigo en como hacerlo. Agradecería si me dieran alguna pistilla.

Hasta ahora lo que he hecho ha sido escribir explicitamente el sistema \( polar_Q(Z) \), pero ya después no se como seguir. Porque digamos que \( polar_Q(Z)=\left\{{R\in{}X/PAR^t=0,\;P\in{}Z}\right\} \)(A es la matriz asociada a Q)

Quizá deberías de poner:

\( polar_Q(Z)=\left\{{R\in{}X/PAR^t=0,\;\color{red}\forall P\color{black}\in{}Z}\right\} \)

Citar
entonces ¿\( RAP^t=0 \)? (con \( P\in{}Z, R\in{}polar_Q(Z) \)), no tiene por qué, ¿no?

Si; eso es la idea.

Ten en cuenta que:

\( polar_q(Z)(polar_Q(Z))=\left\{{R\in{}X/PAR^t=0,\;\forall P\in{}polar_Q(Z))}\right\} \)

Dado \( z\in Z \) tienes que comprobar que para cualquier \( P\in polar_Q(Z) \), \( PAz^t=0 \).

Pero si \( P\in polar_Q(Z) \), como \( z\in Z \), entonces \( zAP^t=0 \) y \( trasponiendo, PAz^t=0 \).

Saludos.

Hola Luis,

¿La matriz A no debería trasponerse también?

Un saludo.

07 Febrero, 2021, 05:37 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

¿La matriz A no debería trasponerse también?

Es simétrica.

Saludos.

07 Febrero, 2021, 05:42 pm
Respuesta #4

mg

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Hola

¿La matriz A no debería trasponerse también?

Es simétrica.

Saludos.

Ah claro, ese era el detalle que se me escapaba. Muchisimas gracias. Un saludo.