Autor Tema: Superficie orientable.

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03 Febrero, 2021, 02:14 pm
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S.S

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Hola a todos.
Estoy revisando el siguiente resultado a ver si me pueden ayudar.
Sea \( S\subset \mathbb{R}^3 \) una superficie. Si existe un campo diferenciable de vectores normales unitarios \( N: S\rightarrow{\mathbb{R}^3} \), entonces \( S \) es orientable. (la prueba la estoy siguiendo en M. do Carmo).

Sea \( N: S\rightarrow{\mathbb{R}^3} \) un campo diferenciable de vectores normales unitarios y considere la familia de entornos coordenados conexos que recubran a \( S \). Para los puntos \( p=x(u,v) \) de cada entorno coordenado \( x(U), U \subset \mathbb{R}^3, \) es posible gracias a la continuidad de \( N \), intercambiando u con v si fuese necesario, escribir:
\( N(p)=\dfrac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \).  De hecho el producto interior \( \left<{N(p), \dfrac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u \wedge x_v}\right |}}\right> = \pm{1} \)...
Mi problemas son:

1. ¿El intercambio mencionado en la parte roja se debe a que \( N(p)=\frac{x_u \wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \) o \( N(p)=-\frac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \)? Si fuese así, no entiendo por qué N puede tomar esos dos valores en un entorno coordenado.
2. ¿Por qué en la parte azul el resultado es \( \pm{1} \)? Como solo N está evaluado en p, lo interpreto precisamente como la norma de N(p), pero eso no es ¿o si?

Gracias.

03 Febrero, 2021, 02:20 pm
Respuesta #1

geómetracat

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1. ¿El intercambio mencionado en la parte roja se debe a que \( N(p)=\dfrac{x_u \wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \) o \( N(p)=-\dfrac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \)? Si fuese así, no entiendo por qué N puede tomar esos dos valores en un entorno coordenado.
Sí. Solo puede tomar esos dos valores porque \[ N(p) \] es ortogonal a la superfície (es decir, a los dos vectores \[ x_u(p),x_v(p) \]), luego debe ser un múltiplo de \[ x_u \wedge x_v \], y por otro lado \[ N(p) \] tiene norma uno, lo que te deja solamente esas dos posibilidades.

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2. ¿Por qué en la parte azul el resultado es \( \pm{1} \)? Como solo N está evaluado en p, lo interpreto precisamente como la norma de N(p), pero eso no es ¿o si?
Es consecuencia de lo de antes. Si ya hemos visto que \( N(p)=\dfrac{x_u \wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \) o \( N(p)=-\dfrac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \), si sustituyes te queda que ese producto escalar es \[ 1 \] (en la primera posibilidad) o \[ -1 \] (en la segunda).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Febrero, 2021, 03:19 pm
Respuesta #2

S.S

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Hola, gracias por la respuesta.
¿Eso quiere decir en la primera pregunta que si \( N \) cumple con las hipótesis yo siempre puedo dejar los vectores \( N(p) \) "apuntando" en el mismo sentido. (por ejemplo en la esfera hacia adentro o hacia afuera)?  Es que la verdad estoy confundido porque no sé geometricamente que es ser orientable (pienso que es como que todos los vectores vayan cambiando de dirección de forma suave, pero no sé). ¿podría ayudarme con esto? Gracias.

03 Febrero, 2021, 05:15 pm
Respuesta #3

geómetracat

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¿Eso quiere decir en la primera pregunta que si \( N \) cumple con las hipótesis yo siempre puedo dejar los vectores \( N(p) \) "apuntando" en el mismo sentido. (por ejemplo en la esfera hacia adentro o hacia afuera)?
Sí, en cada carta siempre los puedes tener "apuntando" en el mismo sentido. Además si la carta es conexa, necesariamente apuntarán todos en el mismo sentido.
Fijada una carta, en cada punto \[ p \] de la carta tienes \( N(p)=\frac{x_u \wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \) o \( N(p)=-\frac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \). Si además la carta es conexa, necesariamente \( N(p)=\frac{x_u \wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \) para todos los puntos \[ p \] de la carta, o \( N(p)=-\frac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \) para todos los puntos \[ p \] de la carta (si tuvieras puntos de ambos tipos en la misma carta, \( \left<{N(p), \frac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u \wedge x_v}\right |}}\right> \) tomaría valores \[ +1 \] y \[ -1 \], imposible pues la imagen de un conexo por una aplicación continua es conexa).

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Es que la verdad estoy confundido porque no sé geometricamente que es ser orientable (pienso que es como que todos los vectores vayan cambiando de dirección de forma suave, pero no sé). ¿podría ayudarme con esto? Gracias.
La intuición geométrica de orientable para superfícies en \[ \Bbb R^3 \] es esa, sí. De hecho es lo que te da el teorema por el que estás preguntando: una superfície es orientable si existe una elección diferenciable de vector normal en cada punto (puedes cambiar diferenciable por continua si quieres). Fíjate que por lo que he dicho antes, en cada carta conexa tienes una elección (de hecho dos) de campo normal diferenciable. Que la superfície sea orientable quiere decir que hay una elección de orientación del campo normal en cada carta de manera que te de lugar a un campo normal global bien definido sobre toda la superfície.

Por ejemplo, si consideras la banda de Möbius, que es la superfície no orientable más fácil de visualizar, la puedes recubrir con dos cartas. En cada una de esas cartas puedes elegir una orientación para el campo normal, pero si las intentas juntar verás que no encajan bien, no hay manera de que den lugar a un campo normal global.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Febrero, 2021, 11:32 pm
Respuesta #4

S.S

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Muchas gracias geómetracat por la respuesta, eso me ayuda bastante.

09 Febrero, 2021, 02:56 am
Respuesta #5

S.S

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Hola.
Volví a este hilo, a ver si me pueden ayudar. revisando la prueba de nuevo me di cuenta que hay cosas a las cuales no puedo concretar, espero puedan ayudarme.

Hola a todos.
Estoy revisando el siguiente resultado a ver si me pueden ayudar.
Sea \( S\subset \mathbb{R}^3 \) una superficie. Si existe un campo diferenciable de vectores normales unitarios \( N: S\rightarrow{\mathbb{R}^3} \), entonces \( S \) es orientable. (la prueba la estoy siguiendo en M. do Carmo).

Sea \( N: S\rightarrow{\mathbb{R}^3} \) un campo diferenciable de vectores normales unitarios y considere la familia de entornos coordenados conexos que recubran a \( S \). Para los puntos \( p=x(u,v) \) de cada entorno coordenado \( x(U), U \subset \mathbb{R}^3, \) es posible gracias a la continuidad de \( N \), intercambiando u con v si fuese necesario, escribir:
\( N(p)=\dfrac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \).  De hecho el producto interior \( \left<{N(p), \dfrac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u \wedge x_v}\right |}}\right> = \pm{1} \)...
Mi problemas son:

1. ¿El intercambio mencionado en la parte roja se debe a que \( N(p)=\frac{x_u \wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \) o \( N(p)=-\frac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \)? Si fuese así, no entiendo por qué N puede tomar esos dos valores en un entorno coordenado.
2. ¿Por qué en la parte azul el resultado es \( \pm{1} \)? Como solo N está evaluado en p, lo interpreto precisamente como la norma de N(p), pero eso no es ¿o si?

Gracias.
Resalte con verde una de las dificultades, no entiendo esa frase, no entiendo si N no fuera continua, como afectaría eso el cambio de u con v. Agradezco la ayuda.
La verdad desde antes de estudiar geometría diferencial por mi cuenta a modo de desafió,  ya había oído de la banda de Mobius y quería saber de ella, pero se me está dificultando este objeto llamado orientabilidad.  Gracias.

09 Febrero, 2021, 09:15 am
Respuesta #6

geómetracat

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Si \[ N \] no fuera continua, podría ir "saltando" de punto en punto entre las dos posibles orientaciones, de manera que, fijada una carta conexa, ya no fuera cierto que es \( N(p)=\frac{x_u \wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \) en todos los puntos de la carta o \( N(p)=-\frac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \) en todos los puntos de la carta. Podrías tener en la misma carta conexa puntos de los dos tipos. En cambio, si \[ N \] es continua eso no pasa. Es el argumento que te puse aquí (he marcado.en rojo donde se usa la continuidad):
Fijada una carta, en cada punto \[ p \] de la carta tienes \( N(p)=\frac{x_u \wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \) o \( N(p)=-\frac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \). Si además la carta es conexa, necesariamente \( N(p)=\frac{x_u \wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \) para todos los puntos \[ p \] de la carta, o \( N(p)=-\frac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u\wedge x_v}\right |} \) para todos los puntos \[ p \] de la carta (si tuvieras puntos de ambos tipos en la misma carta, \( \left<{N(p), \frac{x_u\wedge x_v}{\left |{x_u \wedge x_v}\right |}}\right> \) tomaría valores \[ +1 \] y \[ -1 \], imposible pues la imagen de un conexo por una aplicación continua es conexa).

La verdad desde antes de estudiar geometría diferencial por mi cuenta a modo de desafió,  ya había oído de la banda de Mobius y quería saber de ella, pero se me está dificultando este objeto llamado orientabilidad.  Gracias.
Bueno, no te preocupes demasiado. La orientabilidad es un asunto un tanto sutil, pero al final todo se entiende. Intenta entender bien esta caracterización de los vectores normales porque es la más intuitiva. Hazte dibujos con la banda de Möbius, que también ayuda bastante tener un ejemplo en mente.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Febrero, 2021, 03:12 am
Respuesta #7

S.S

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Hola. Gracias por la respuesta, creo que ya me quedo más claro después de las intervenciones, solo quisiera precisar un par de cuestiones mas:

1. Sea \( q \in x(U) \), tal que \( N(q) = -\frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} \), luego no puede ser \( N \) continua en \( q \in x(U) \), esto porque dado \( \epsilon  \) menor que \( 2 \) no se cumple la definición \( \epsilon-\delta \). Si estoy en lo cierto no sé como demostrar que \( \left\|{N(p) - N(q)}\right\| \) es mayor que 2, graficamente se puede ver (si es que mi gráfica esta bien), pero no puedo formalizarlo.

2. Esta pregunta se refiere a \( f(p) = \left<{N(p), \frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |}}\right> \), ¿con esta función el autor reafirma la escogencia de \( N(p) \)? (Es que quisiera saber el rol de la función  \( f(p) \) dentro de la prueba).

Gracias de antemano. (pdta: Lamento la insistencia pero quiero dejar el tema lo mejor posible, gracias de nuevo.)

10 Febrero, 2021, 10:24 am
Respuesta #8

geómetracat

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Lo marcado en rojo está mal. Lo aclaro en mi siguiente mensaje.

1. Sea \( q \in x(U) \), tal que \( N(q) = -\frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} \), luego no puede ser \( N \) continua en \( q \in x(U) \), esto porque dado \( \epsilon  \) menor que \( 2 \) no se cumple la definición \( \epsilon-\delta \). Si estoy en lo cierto no sé como demostrar que \( \left\|{N(p) - N(q)}\right\| \) es mayor que 2, graficamente se puede ver (si es que mi gráfica esta bien), pero no puedo formalizarlo.
No sé muy bien qué quieres hacer aquí. \[ N \] es continua en \[ q \] si tienes \( N(p) = -\frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} \) para todo \[ p \] en un entorno de \[ q \]. Esto puede pasar perfectamente. Ahora bien, si para todo entorno de \[ q \] existe \[ p \] en el entorno con \( N(p) = \frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} \), entonces \[ N \] no es continua en \[ q \] porque \( ||N(p)-N(q)|| = \left|\left| 2\frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |}\right|\right|=2 \). Pero insisto que no sé muy bien a dónde quieres llegar con esto, teniendo en cuenta que do Carmo ya da un argumento mucho más limpio para ver que en una carta conexa si \[ N \] es continua debe apuntar hacia el mismo lado en todos los puntos.

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2. Esta pregunta se refiere a \( f(p) = \left<{N(p), \frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |}}\right> \), ¿con esta función el autor reafirma la escogencia de \( N(p) \)? (Es que quisiera saber el rol de la función  \( f(p) \) dentro de la prueba).
Pues esto lo hace para darte el mismo argumento que te dí yo de que \[ N \] apunta hacia el mismo lado en todos los puntos de una carta conexa. \[ f \] solamente puede tomar dos valores, \[ 1 \] o \[ -1 \]. \[ f(p)=1 \] si \( N(p) = \frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} \), y \[ f(p)=-1 \] si \( N(p) = -\frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} \). Ahora lo que queremos ver es que en una carta conexa, \[ N(p) \] tiene una de esas dos formas para todos los puntos de la carta (si en un punto es \( N(p) = \frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} \), entonces es así (con signo +) en todos los puntos de la carta). Como \[ f \] es continua y la carta es conexa, debe ser \[ f(p)=1 \] en toda la carta o \[ f(p)=-1 \] en toda la carta. Y esto te da que \( N(p) = \frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} \) en toda la carta (primera opción) o \( N(p) = -\frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} \) en toda la carta (segunda opción).

Una vez sabes esto, si estás en la segunda opción, intercambiando \[ u \] con \[ v \] (es decir, en vez de considerar \[ (u,v) \] como coordenadas consideras \[ (u',v')=(v,u) \]) tienes que \( N(p) = \frac{x_{u'}\wedge x_{v'}}{\left |{x_{u'}\wedge  x_{v'}}\right |} \) con signo +.

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10 Febrero, 2021, 02:35 pm
Respuesta #9

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Hola. Gracias por la respuesta.
Si quedo más claro. En este párrafo no me explique bien:
1. Sea \( q \in x(U) \), tal que \( N(q) = -\frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} \), luego no puede ser \( N \) continua en \( q \in x(U) \), esto porque dado \( \epsilon  \) menor que \( 2 \) no se cumple la definición \( \epsilon-\delta \). Si estoy en lo cierto no sé como demostrar que \( \left\|{N(p) - N(q)}\right\| \) es mayor que 2, graficamente se puede ver (si es que mi gráfica esta bien), pero no puedo formalizarlo.

Es precisamente lo que usted me respode, si \( N(p) = \frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} \) para cada \( p \in x(U) \), si existiera un \( q \in x(U) \) tal que \( N(q) = -\frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} \), entonces \( N \) no es continua en q, por lo que usted precisa. lo que no podía realizar era esta cuenta \( \left\|{N(p) - N(q)}\right\| \) porque para mi esto es: \( \left\|{\frac{x_{u}(p)\wedge x_{v}(p)}{\left |{x_{u}(p)\wedge  x_{v}(p)}\right |} - \frac{x_{u}(q)\wedge x_{v}(q)}{\left |{x_{u}(q)\wedge  x_{v}}(q)\right |}}\right\| \)  y por eso no podía llegar a : \( \left\|{N(p) - N(q)}\right\| = \left\|{2\frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} }\right\| \).
Viendo \( \left\|{N(p) - N(q)}\right\| = \left\|{2\frac{x_{u}\wedge x_{v}}{\left |{x_{u}\wedge  x_{v}}\right |} }\right\| \), ¿Eso quiere decir que N se comporta como una constante dentro del entorno \( x(U) \)? Creo que en eso radica toda mi confusión en no saber si en ese entorno varia o no dependiendo del punto del entorno, porque solo tenía en cuenta el signo (negativo o positivo), pensando que variaba en \( x(U) \) y el signo quedaba fijo.
Gracias.