Autor Tema: ¿Pueden existir elementos que no sean ni cerrados ni abiertos?

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31 Enero, 2021, 05:35 pm
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mg

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Hola,

Dada una topología en un conjunto X, ¿pueden existir subconjuntos de X que no sean ni cerrados ni abiertos en la topología dada?

Un saludo.

31 Enero, 2021, 05:40 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola,

Dada una topología en un conjunto X, ¿pueden existir subconjuntos de X que no sean ni cerrados ni abiertos en la topología dada?

Un saludo.

El conjunto \( \mathbb{Q} \) no es ni abierto ni cerrado en la topología usual de \( \mathbb{R} \). Además, aunque no estoy 100% seguro, me parece que conjuntos que no son abiertos ni cerrados existen en toda topología siempre y cuando ésta no sea la topología discreta.

31 Enero, 2021, 05:57 pm
Respuesta #2

mg

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31 Enero, 2021, 06:00 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Además, aunque no estoy 100% seguro, me parece que conjuntos que no son abiertos ni cerrados existen en toda topología siempre y cuando ésta no sea la topología discreta.

No. Por ejemplo, considera un conjunto \[ X \] con más de un punto y un punto \[ x\in X \] y define como abiertos a los conjuntos que contienen a \[ x \], y al conjunto vacío. Este espacio no tiene la topología discreta pues \[ \{x\} \] no es cerrado, sin embargo todo conjunto es abierto (si contiene a \[ x \] o es el vacío) o cerrado (si no contiene a \[ x \] o es \[ X \]).

Por cierto, los espacios topológicos que cumplen que todo conjunto es abierto o cerrado (o ambos) se llaman "espacios puerta" ("door spaces" en inglés).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)