Autor Tema: Ejercicio de cuádricas

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

28 Enero, 2021, 07:50 pm
Leído 124 veces

mg

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 241
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,

El ejercicio es el siguiente.

"Clasifique, o justifique que no existen, las cuádricas no degeneradas en \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \), tales que su cuádrica lugar corta a cualquier recta de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \)  en a lo más dos puntos."


Sinceramente no se muy bien por donde tirar. Para empezar, descarto que sea cuádrica imaginaria pues en ese caso su lugar sería vacío y evidentemente no corta a ninguna recta. Por tanto, quedarían ver las cuádricas con rango 4 y signatura proyectiva 2, que son reales. He pensado que podía tomar una matriz representante de cada una, pero no se me ocurre la forma de probarlo.


Un saludo.

28 Enero, 2021, 08:34 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,008
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

El ejercicio es el siguiente.

"Clasifique, o justifique que no existen, las cuádricas no degeneradas en \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \), tales que su cuádrica lugar corta a cualquier recta de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \)  en a lo más dos puntos."


Sinceramente no se muy bien por donde tirar. Para empezar, descarto que sea cuádrica imaginaria pues en ese caso su lugar sería vacío y evidentemente no corta a ninguna recta. Por tanto, quedarían ver las cuádricas con rango 4 y signatura proyectiva 2, que son reales. He pensado que podía tomar una matriz representante de cada una, pero no se me ocurre la forma de probarlo.

Antes de nada eso de "cuádrica lugar". ¿A qué se refiere? ¿A lo qué toda mi vida llamé simplemente cuádrica?  :D ¿Es decir a una superficie de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \) definida por una ecuación polinómica homogénea de grado dos?.

En ese caso una cuádrica imaginaria SI valdría; porque piden que cada recta corte como máximo en dos puntos. Eso incluye que no corte en ninguno. Valdría también las de signatura \( (+,+,+,-) \), que no contienen rectas. Y ya.

Nota que una recta que corte en más de dos puntos en la cuádrica necesariamente está contenida en ella. Así que preguntan por las cuádricas no regladas.

Saludos.

28 Enero, 2021, 08:47 pm
Respuesta #2

mg

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 241
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

El ejercicio es el siguiente.

"Clasifique, o justifique que no existen, las cuádricas no degeneradas en \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \), tales que su cuádrica lugar corta a cualquier recta de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \)  en a lo más dos puntos."


Sinceramente no se muy bien por donde tirar. Para empezar, descarto que sea cuádrica imaginaria pues en ese caso su lugar sería vacío y evidentemente no corta a ninguna recta. Por tanto, quedarían ver las cuádricas con rango 4 y signatura proyectiva 2, que son reales. He pensado que podía tomar una matriz representante de cada una, pero no se me ocurre la forma de probarlo.

Antes de nada eso de "cuádrica lugar". ¿A qué se refiere? ¿A lo qué toda mi vida llamé simplemente cuádrica?  :D ¿Es decir a una superficie de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \) definida por una ecuación polinómica homogénea de grado dos?.
Si efectivamente. Por hacerlo más explícito, si Q es una cuádrica entonces su cuádrica lugar se define como el conjunto \( \left\{{P\in{}\mathbb{P}^n/PAP^t=0}\right\} \), si A es la clase-matriz asociada a Q. Claro que podemos llamar x a P, y sale más bonito.

Citar
En ese caso una cuádrica imaginaria SI valdría; porque piden que cada recta corte como máximo en dos puntos. Eso incluye que no corte en ninguno. Valdría también las de signatura \( (+,+,+,-) \), que no contienen rectas. Y ya.

Nota que una recta que corte en más de dos puntos en la cuádrica necesariamente está contenida en ella. Así que preguntan por las cuádricas no regladas.

Saludos.

Okey, muchas gracias. Le daré una vuelta más y si dudo en algo lo comento por aquí.

Un saludo.