Autor Tema: Clausura proyectiva de una cuádrica afín

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27 Enero, 2021, 05:19 pm
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mg

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Hola,

Me gustaría conocer como se calcula la clausura proyectiva de una cuádrica afín. En mis apuntes se define como sigue, "Si f=0 es una ecuación de Q respecto a un sistema de referencia afín, entonces una ecuación de \( \overline{Q} \) respescto de un sistema de referencia proyectivo, se obtiene homogeneizando f, esto es, añadiendo la variable \( x_0 \)(eventualmente al cuadrado) a los sumandos que lo necesiten para conseguir una forma cuadrática."

Entonces me he dispuesto a, por ejemplo, intentar hacer la clausura de la cónica afín Q, que tiene por matriz:

\( \begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix} \),

pero no se como hacerlo, creo que en este caso pues simplemente \( Q \) y \( \overline{Q} \) coinciden. ¿Estoy en lo cierto?

Un saludo

27 Enero, 2021, 06:18 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola,

Me gustaría conocer como se calcula la clausura proyectiva de una cuádrica afín. En mis apuntes se define como sigue, "Si f=0 es una ecuación de Q respecto a un sistema de referencia afín, entonces una ecuación de \( \overline{Q} \) respescto de un sistema de referencia proyectivo, se obtiene homogeneizando f, esto es, añadiendo la variable \( x_0 \)(eventualmente al cuadrado) a los sumandos que lo necesiten para conseguir una forma cuadrática."

Entonces me he dispuesto a, por ejemplo, intentar hacer la clausura de la cónica afín Q, que tiene por matriz:

\( \begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix} \),

pero no se como hacerlo, creo que en este caso pues simplemente \( Q \) y \( \overline{Q} \) coinciden. ¿Estoy en lo cierto?

Conste que tengo ciertas dudas en el convenio que usas de matriz asocicada.

1) Si entiendes que la matriz anterior se refiere a la cónica afín:

\( \begin{pmatrix}1&x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}1\\x_1\\x_2\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir: \( 2+2x_1+4x_1x_2=0 \) entonces el homogeneizado sería:

\( \begin{pmatrix}x_0&x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir \( 2x_0^2+2x_0x_1+4x_1x_2=0 \)

2) Si entiendes que la matriz anterior se refiere a la cónica afín:

\( \begin{pmatrix}x_1&x_2&1\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\1\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir: \( 2x_1^2+2x_1x_2+4x_2=0 \) entonces el homogeneizado sería:

\( \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_0\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_0\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir \( 2x_1^2+2x_1x_2+4x_0x_2=0 \)

Yo suelo usar el criterio dos pero con las letras \( (x,y) \) y la homogeneización con \( z \) o \( t. \)

Como usas \( x_0 \) para la tercera variable invita a ponerla en primera posición y quizá pensé que puedas usar el convenio \( 1 \), que aunque creo que es menos frecuente a veces se usa.

Saludos.

27 Enero, 2021, 06:32 pm
Respuesta #2

mg

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Hola,

Me gustaría conocer como se calcula la clausura proyectiva de una cuádrica afín. En mis apuntes se define como sigue, "Si f=0 es una ecuación de Q respecto a un sistema de referencia afín, entonces una ecuación de \( \overline{Q} \) respescto de un sistema de referencia proyectivo, se obtiene homogeneizando f, esto es, añadiendo la variable \( x_0 \)(eventualmente al cuadrado) a los sumandos que lo necesiten para conseguir una forma cuadrática."

Entonces me he dispuesto a, por ejemplo, intentar hacer la clausura de la cónica afín Q, que tiene por matriz:

\( \begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix} \),

pero no se como hacerlo, creo que en este caso pues simplemente \( Q \) y \( \overline{Q} \) coinciden. ¿Estoy en lo cierto?

Conste que tengo ciertas dudas en el convenio que usas de matriz asocicada.

1) Si entiendes que la matriz anterior se refiere a la cónica afín:

\( \begin{pmatrix}1&x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}1\\x_1\\x_2\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir: \( 2+2x_1+4x_1x_2=0 \) entonces el homogeneizado sería:

\( \begin{pmatrix}x_0&x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir \( 2x_0^2+2x_0x_1+4x_1x_2=0 \)

2) Si entiendes que la matriz anterior se refiere a la cónica afín:

\( \begin{pmatrix}x_1&x_2&1\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\1\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir: \( 2x_1^2+2x_1x_2+4x_2=0 \) entonces el homogeneizado sería:

\( \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_0\end{pmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_0\\\end{pmatrix}=0 \)

es decir \( 2x_1^2+2x_1x_2+4x_0x_2=0 \)

Yo suelo usar el criterio dos pero con las letras \( (x,y) \) y la homogeneización con \( z \) o \( t. \)

Como usas \( x_0 \) para la tercera variable invita a ponerla en primera posición y quizá pensé que puedas usar el convenio \( 1 \), que aunque creo que es menos frecuente a veces se usa.

Saludos.

Ah claro. Muchísimas gracias. Y sí, nosotros usamos el primer convenio.