[athairdos]

Hola; tengo la siguiente duda; dada una referencia proyectiva en un espacio proyectivo \( P^{n} \) por \( n+2 \) puntos; todo punto del espacio en cuestión se puede expresar a partir de los mismos (como.combinación lineal de ellos, salvo  múltiplos escalares  \( \lambda \))?

Por ejemplo, en una recta proyectiva los puntos se pueden expresar (salvo múltiplos escalares) como combinaciones de 3 puntos (incluído el punto unidad): si llamamos \( u_{0}, u_{1} \) y \( u \) a 2 puntos independientes y al punto unidad, respectivamente, entonces los elementos de la recta se pueden expresar como: \( x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+x_{2}u \)?

Ó en un plano proyectivo, como \( x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+x_{2}u_{2}+x_{3}u \); o sea, combinaciones de 4 puntos, incluído el punto unidad \( u \) definido en el mismo?

Gracias y saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola; tengo la siguiente duda; dada una referencia proyectiva en un espacio proyectivo \( P^{n} \) por \( n+2 \) puntos; todo punto del espacio en cuestión se puede expresar a partir de los mismos (como.combinación lineal de ellos, salvo  múltiplos escalares  \( \lambda \))?

Por ejemplo, en una recta proyectiva los puntos se pueden expresar (salvo múltiplos escalares) como combinaciones de 3 puntos (incluído el punto unidad): si llamamos \( u_{0}, u_{1} \) y \( u \) a 2 puntos independientes y al punto unidad, respectivamente, entonces los elementos de la recta se pueden expresar como: \( x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+x_{2}u \)?

Poder, se pueden poner en función de los \( n+2 \). Pero en realidad se ponen solo combinación lineal de los \( n+1 \) primeros, una vez que estos han sido normalizados utilizando el punto unido; se trata de que éste este expresado como suma de los otro \( n+1 \) puntos.

Por ejemplo si consideras en la recta proyectiva la referencia \( \{(1,0),(0,1);(1,2)\} \), para hallar las coordenadas de un punto \( (2,3) \) en esa referencia, primero normalizamos las coordenadas de los dos primeros puntos. Se trata de que:

\( a(1,0)+b(0,1)=(1,2) \)

De ahí \( a=1 \) y \( b=2 \). Entonces escribimos la referencia como \( \{(1,0),(0,2);(1,2)\} \). Ahora las coordenadas \( (2,3) \) en esa referencia son los \( (x,y) \) verificando:

\( x(1,0)+y(0,2)=(1,2) \)

de donde \( (x,y)=(1,1). \)

Esto se hace para que las coordenadas (salvo escalar) no dependan del representante que se de de cada punto; es decir la misma referencia sería: \( \{(10,0),(0,-7);(100,200)\} \).

Puedes comprobar que si repites el cálculo, las coordenadas de \( (1,2) \) en esa referencia te saldrá un múltiplo de \( (1,1) \), es decir, son únicas salvo múltiplo por escalar.

Ó en un plano proyectivo, como \( x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+x_{2}u_{2}+x_{3}u \); o sea, combinaciones de 4 puntos, incluído el punto unidad \( u \) definido en el mismo?

No. Es decir en una recta un punto debe de estar definido por dos coordenadas homogéneas; en un plano, por tres coordenadas homogéneas; etcétera...

Si usas coordenadas sobrantes perderás la unicidad de las mismas.

Saludos.

[athairdos]

Gracias! Las coordenadas de \( (1, 2) \) en la segunda referencia dada (a saber,

{(10,0),(0,−7);(100,200)}.

) serian \( \frac{1}{100}(1, 1) \)?

saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias! Las coordenadas de \( (1, 2) \) en la segunda referencia dada (a saber,

{(10,0),(0,−7);(100,200)}.

) serian \( \frac{1}{100}(1, 1) \)?

saludos

Si... pero con un matiz tal como te has expresado.

Las referencias \( \{(10,0),(0,−7);(100,200)\} \) y \( \{(1,0),(0,2);(1,2)\}  \) son exactamente las mismas.

Recuerda que en la recta proyectiva coordenadas proporcionales definen el mismo punto. Entonces el punto de coordenadas homogéneas \( (10,0) \) y \( (1,0) \) es exactamente el mismo. Y lo análogo con las otras dos.

También es coherente el resultado; las coordenadas \( \dfrac{1}{100}(1,1) \) y \( (1,1) \) son las mismas, en cuanto que son proporcionales.

Para convencerte y entender los matices; dale la vuelta al problema. Te pregunto. ¿Las coordenadas \( (1,1) \) en la referencia \( \{(10,0),(0,−7);(100,200)\} \) que punto de la recta proyectiva en la referencia canónica designan?.

Saludos.

[athairdos]

Gracias! Se me ocurre que las.coordenadas \( (1, 1) \) en la referencia en cuestión, designan al punto \( (10, -\frac{200}{7}) \) en la referencia canónica. ¿es esto correcto?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias! Se me ocurre que las.coordenadas \( (1, 1) \) en la referencia en cuestión, designan al punto \( (10, -\frac{200}{7}) \) en la referencia canónica. ¿es esto correcto?

No. Para trabajar con la referencia proyectiva \( \{(10,0),(0,−7);(100,200)\} \) antes de nada tienes que normalizarla, es decir, escoger representantes de cada punto de manera que la suma de los dos primeros sea el punto unido. Por ejemplo:

\( R=\{(10,0),(0,20);(10,20)\} \)

donde \( (0,20) \) y \( (0,-7) \) representan el mismo punto porque sus coordenadas son proporcionales y lo mismo con \( (10,20) \) y  \( (100,200) \).

 Ahora el punto cuyas coordenadas en la referencia \( R \) son \( (1,1) \) en la canónica corresponde al punto:

\( 1\cdot (10,0)+1(0,20)=(10,20) \)  (*)

 Fíjate que en esa normalización de la referencia igualmente podrías haber escogido, por ejemplo:


\( R=\{(100,0),(0,200);(100,200)\} \)

 Y entonces el punto cuyas coordenadas en la referencia \( R \) son \( (1,1) \) en la canónica corresponde al punto:

\( 1\cdot (100,0)+1(0,200)=(100,200) \)

 ¿Es un resultado diferente de (*)? No, porque coordenadas homogéneas proporcionales definen el mismo punto proyectivo.

Saludos.

[athairdos]

Gracias! Entonces las coordenadas \( (1,1) \) en la referencia \( \left\{{(10, 0);(0, -7);(100, 200)}\right\} \) designan en la referencia canonica al punto \( (100, 200) \)?

Todavia no alcanzo a comprender completamente la cuestion de la proporcionalidad; he calculado las coordenadas del punto \( (2, 3) \) en \( \left\{{(1, 0);(0, 1); (1, 2)}\right\} \), que resultan \( (2, \frac{3}{2}) \), por un lado; y por otro lado, las coordenadas del mismo punto en \( \left\{{(10, 0);(0, -7);(100, 200)}\right\} \), que resultan en \( \frac{1}{100}(2, \frac{3}{2}) \); es decir, son proporcionales. Sin embargo, aun me queda la siguiente duda: esta forma de referencia tiene por objeto el utilizar los multiplos arbitrarios del punto unidad para que, junto con la normalizacion aplicada a los resultantes de tomar cualesquiera otros representantes de los puntos n+1 iniciales, la modificacion de las coordenadas de un punto arbitrario obedezca a un cambio meramente proporcional tambien (como en el punto unidad)?

saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias! Entonces las coordenadas \( (1,1) \) en la referencia \( \left\{{(10, 0);(0, -7);(100, 200)}\right\} \) designan en la referencia canonica al punto \( (100, 200) \)?

Todavia no alcanzo a comprender completamente la cuestion de la proporcionalidad; he calculado las coordenadas del punto \( (2, 3) \) en \( \left\{{(1, 0);(0, 1); (1, 2)}\right\} \), que resultan \( (2, \frac{3}{2}) \), por un lado; y por otro lado, las coordenadas del mismo punto en \( \left\{{(10, 0);(0, -7);(100, 200)}\right\} \), que resultan en \( \frac{1}{100}(2, \frac{3}{2}) \); es decir, son proporcionales. Sin embargo, aun me queda la siguiente duda: esta forma de referencia tiene por objeto el utilizar los multiplos arbitrarios del punto unidad para que, junto con la normalizacion aplicada a los resultantes de tomar cualesquiera otros representantes de los puntos n+1 iniciales, la modificacion de las coordenadas de un punto arbitrario obedezca a un cambio meramente proporcional tambien (como en el punto unidad)?

El objetivo del punto unido es poder normalizar la referencia, para que las coordenadas respecto de ellas no dependan de los representantes elegidos. Teniendo en cuenta que coordenadas proporcionales designan el mismo punto:

Es decir: \( (1,0),(2,0),(10,0),\ldots \) representan el mismo punto.
Es decir: \( (0,1),(0,2),10,10),\ldots \) representan el mismo punto.

Entonces \( \{(1,0),(0,1)\} \) y \( \{(3,0),(0,2)\} \) son los mismos pares de puntos. Si me limitase a dar una referencia con un  par de puntos (por ejemplo los anteriores), esas dos "referencias" son las misma porque están formadas con el mismo par de puntos (aunque use para designarlos coordenadas distintas, pero proporcionales). Sin embargo si yo quiero hallar las coordenadas del punto \( (6,4) \) usando los representantes de cada una de ellas tendría:

\( (6,4)=6(1,0)+4(0,1) \) es decir coordenadas \( (6,4) \)
\( (6,4)=2(3,0)+2(0,2) \) es decir coordenadas \( (2,2) \)

y esto NO sería coherente: tendríamos que un mismo punto respecto a la misma referencia tiene coordenadas distintas y NO proporcionales, dependiendo del representante que use de los puntos que forman mi referencia.

Saludos.

[athairdos]

Gracias! Tengo algunas preguntas mas o menos inconexas relacionadas con el tema; aqui van algunas (por ahora, pienso que  a la cuestión del "punto unidad" la voy entendiendo; en alguna pregunta de mas abajo surgira la posibilidad de dar un poco de contexto al tema; aunque las preguntas apuntan en principio a cuestiones más o menos básicas de álgebra lineal):

1-las siguientes ecuaciones de rectas del infinito en un plano proyectivo \( P^{2} \), \( ax+by+cz=0 \) y \( z=0 \) (ó \( x=0 \)) se pueden poner en correspondencia mutua por un cambio de referencia proyectiva en \( P^{2} \)?

2-mientras q para la ecuación del tipo \( z=0 \), se tiene que el vector normal al hiperplano es \( (0, 0, 1) \), para el caso de un hiperplano dado por \( x+y+z=0 \) se tiene \( (1, 1, 1) \): en todo caso, se pueden tomar como \( n+1 \) puntos (o sea, 3) para una referencia (parcial, sin punto unidad) a las clases (rectas vectoriales unidimensionales) correspondientes al vector normal además de 2 vectores l.i's en/para los subespacios (hiperplanos) correspondientes en ambos casos?

2-b) el par de vectores l.i's asociados al vector normal \( (1, 1, 1) \) se puede obtener por producto cruz?

3-si se tomara dicho par para la referencia de \( P^{2} \) junto su vector normal, las coordenadas de hiperplano pasarían a ser \( z=0 \), por ej.?

4-si no se tomara como referencia de \( P^{2} \) al conjunto de 3), entonces el punto asociado a \( (1, 1, 1) \) se podría expresar en la forma (tradicional o elemental) \( \lambda_{2} (1, 1, 1) \) (es decir \( [1: 1: 1] \)?

5-en base al planteo de 4), se podria concebir al par de vectores dados por el producto cruz antedicho, como un limite al dividir por \( \lambda_{2} \)? (Esta es la parte q menos clara me queda, si bien reconozco que me podria esmerar un poco más al formular la pregunta...no me queda claro si esto depende de la referencia que se esté considerando al momento de plantear dicha división y límite...antes de llegar a una respuesta).

6-si, partiendo de un hiperplano impropio de ecuación \( ax+by+cz=0 \) se considerara \( z=1 \) de modo de obtener \( ax+by+c=0 \), en ese caso se habría obtenido la ecuación de una recta afín? Para dicha recta afin se podría agregar el punto impropio \( (\frac{a}{b}, 0) \)?

Gracias y saludos