Autor Tema: Sobre homotopías

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22 Enero, 2021, 12:58 pm
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smc

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No entiendo el siguiente ejercicio. Si me pudierais ayudar sería de gran ayuda.

Sea \( X \) un espacio topológico, y sean \( f: X\longrightarrow \mathbb{R}^n, g:\mathbb{R}^n\longrightarrow X \), aplicaciones contínuas. Probar que la composición \( g \circ f \) es homótopa a constante. Probar que si \( s:S^1\longrightarrow S^4 \) y \( t: S^4\longrightarrow S^1 \) son aplicaciones contínuas, la composición \( t\circ s \) es homótopa a constante. Dar un ejemplo de un espacio \( Y\neq S^1 \), y dos aplicaciones contínuas \( u: S^1\longrightarrow Y, v:Y\longrightarrow S^1 \) tales que la composición \( v\circ u \) no sea homótopa a constante.

22 Enero, 2021, 01:12 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Como \[ \Bbb R^n \] es contráctil, \[ f \] es homótopa a una aplicación constante. Si \[ H \] es la homotopía, \[ g\circ H \] es una homotopía de \[ g\circ f  \] a constante.

El segundo es parecido, solamente debes ver que cualquier aplicación \[ s:S^1 \to S^4 \] es homótopa a constante (pista: el grupo fundamental de \[ S^4 \] es trivial).

Para el tercero toma por ejemplo como \[ Y \] la figura ocho.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Enero, 2021, 01:32 pm
Respuesta #2

smc

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No se cual es el grupo fundamental de \( S^4 \), puede que sea \( \frac{\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}} \)?

Respecto a la tercera pregunta, no se a qué figura ocho te refieres

Gracias, como podrás comprobar voy un poco perdido

22 Enero, 2021, 01:37 pm
Respuesta #3

geómetracat

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El grupo fundamental de cualquier esfera \[ S^n \] con \[ n>1 \] es el grupo trivial (el cero). La idea intuitiva es que puedes contraer cualquier lazo a un punto. Se puede demostrar muy fácilmente con el teorema de Seifert-van Kampen, si lo conoces.

La figura 8 es eso, un espacio topológico que es un 8 (con la topología inducida de un 8 dibujado en el plano). Es decir, dos circunferencias que se tocan en un punto, o más precisamente \[ S^1 \vee S^1 \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)