Autor Tema: retracto de deformación

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22 Enero, 2021, 12:21 pm
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smc

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Hola, se me plantea el siguiente ejercicio:

Consideremos el espacio topológico \( X \subseteq\mathbb{R}^3 \) definido por \( X = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2 =1, x\geq{0}, y\geq{0},z\geq{0}\}\cup\{[0,1]\times\{0\}\times\{0\}\}\cup\{\{0\}\times[0,1]\times\{0\}\}\cup\{\{0\}\times\{0\}\times[0,1]\} \)

i) Determinar si \( X \) admite un grafo como retracto de deformación. Calcular el grupo fundamental de \( X \). ¿Es \( X \) del mismo tipo de homotopía que \( \mathbb{R}^2 \)?

ii) Determinar el conjunto \( Y \) de \( X \) formado por los puntos \( x \in X \), tales que \( X \) es una superficie en un entorno de \( x \). Probar que si \( f: X\longrightarrow X \) es un homeomorfismo, entonces \( f \) tiene como mínimo dos puntos fijos.

Gracias de antemano :)

22 Enero, 2021, 01:44 pm
Respuesta #1

geómetracat

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No entiendo el enunciado. \( \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x\geq{0}, y\geq{0},z\geq{0}\} \) ya contiene a los demás trozos. Entonces \[ X \] sería eso que se contrae a un punto. No tiene mucho sentido.

Por otro lado, no sé qué quiere decir "\[ X \] es del mismo tipo de homotopía que \[ 2 \]". Revisa el enunciado.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Enero, 2021, 02:12 pm
Respuesta #2

smc

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Perdón me había equivacado ya lo he corregido

22 Enero, 2021, 03:20 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Ahora sí que tiene sentido. Es decir, tienes un octante de esfera junto con los segmentos de los ejes que la unen al origen. Es topológicamente lo mismo que un disco con tres puntos en la frontera de los que salen tres segmentos que se unen en un punto exterior.

Sí que admite un grafo como retracto de deformación. La idea es que retraes la parte de la esfera a dos de los segmentos que unen los puntos \[ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \] por el trozo de esfera (los dos segmentos que más te gusten de los tres que hay), sin tocar los segmentos que unen el trozo de esfera con el origen. Espero que se entienda la descripción, es un poco difícil de explicar sin dibujar. De todas formas, aunque intuitivamente se ve fácil, dar fórmulas explícitas debe ser un coñazo. Si quieres dar fórmulas mi consejo es que lo hagas en el modelo que describía al principio, con un disco plano.

Una vez tienes el grafo, debería ser fácil responder al resto de preguntas de i).

Para ii), la primera parte creo que es fácil, te la dejo a ti. Para lo de los puntos fijos del homeomorfismo, un homeomorfismo preserva todas las propiedades locales de los puntos. Por ejemplo, el origen \[ O \] es el único punto de \[ X \] que tiene un entorno \[ U \] tal que \[ U\setminus \{O\} \] tiene tres componentes conexas. Como es el único punto que cumple esto, cualquier homeomorfismo debe dejarlo fijo. Así ya tienes un punto fijo. Para el otro, prueba que cualquier homeomorfismo debe mandar el trozo de esfera al trozo de esfera y usa el teorema del punto fijo de Brouwer.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)