Autor Tema: Inyectividad de una parametrización.

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21 Enero, 2021, 03:24 pm
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S.S

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Hola a todos.

Me encontré lo siguiente en el libro de Docarmo geometría diferencial.  Sea \(  C \subset \mathbb{R}^3 \) una curva cuya parametrización es \( \alpha: (a,b) \rightarrow{\mathbb{R}^3} \) dada por \( \alpha(v) = (f(v),0,g(v)) \). Suponga que f(v) es positivo y \( C \) gira entorno al eje z, entonces la superficie de revolución resultante tiene parametrización:  \( x(u,v) = (f(v)cos(u), f(v)sen(u),g(v)). \)

Ver diferenciabilidad e inyectividad de \( dx_{(u_0,v_0)} \) no se me dificulta, la dificultad reside en probar inyectividad de esta función.  El autor dice: como \( (f(v), g(v)) \) es una parametrización de \( C \), entonces dados \( z \) y \( x^2+y^2 = [f(v)]^2 \) se puede establecer \( v \) con unicidad, asi \( x \) es inyectiva. Pero no comprendo la conclusión.

La verdad se me dificulta la prueba de inyectividad de funciones donde aparecen ángulos, como por ejemplo la esfera en coordenadas esféricas, el cilindro en coordenadas cilíndricas, si hubiera alguna sugerencia sobre este punto lo agradecería. Gracias.

21 Enero, 2021, 03:36 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Me encontré lo siguiente en el libro de Docarmo geometría diferencial.  Sea \(  C \subset \mathbb{R}^3 \) una curva cuya parametrización es \( \alpha: (a,b) \rightarrow{\mathbb{R}^3} \) dada por \( \alpha(v) = (f(v),0,g(v)) \). Suponga que f(v) es positivo y \( C \) gira entorno al eje z, entonces la superficie de revolución resultante tiene parametrización:  \( x(u,v) = (f(v)cos(u), f(v)sen(u),g(v)). \)

Ver diferenciabilidad e inyectividad de \( dx_{(u_0,v_0)} \) no se me dificulta, la dificultad reside en probar inyectividad de esta función.  El autor dice: como \( (f(v), g(v)) \) es una parametrización de \( C \), entonces dados \( z \) y \( x^2+y^2 = [f(v)]^2 \) se puede establecer \( v \) con unicidad, asi \( x \) es inyectiva. Pero no comprendo la conclusión.

La verdad se me dificulta la prueba de inyectividad de funciones donde aparecen ángulos, como por ejemplo la esfera en coordenadas esféricas, el cilindro en coordenadas cilíndricas, si hubiera alguna sugerencia sobre este punto lo agradecería. Gracias.

 De manera concreta tienes que probar que:

\(  x(u,v)=x(u',v')\quad \Rightarrow{}\quad (u,v)=(u',v') \)

 Pero:

\(  x(u,v)=x(u',v')\quad \Rightarrow{}\quad (f(v)cos(v),f(u)sin(u),g(v))=(f(v')cos(u'),f(v')sin(u'),g(v')) \) (*)

 Por la igualdad de las dos primeras componentes:

\(  f(v)^2cos^2(u)+f(v)^2sin^2(u)= f(v')^2cos^2(u')+f(v')^2sin^2(u')\quad \Rightarrow{}\quad f(v)^2=f(v')^2\quad \Rightarrow{}\quad  f(v)=f(v') \)

 donde la última implicación es por ser \( f \) positiva.

 Entonces volviendo a las dos primeras componentes y dividiendo por \( f(v) \) tenemos que:

\(  (cos(u),sin(u))=(cos(u'),sin(u'))\quad \Rightarrow{}\quad u=u' \)

 donde usamos que un ángulo \( \alpha\in [0,2\pi) \) queda inequívocamente determinado por sus dos razones trigonométricas.

 Por último unimos la igualdad de la tercera componente de (*) tenemos que:

\(  (f(v),g(v))=(f(v'),g(v')) \)

 y como \(  \alpha(v) \) era una parametrización (inyectiva) \( v=v' \).

Saludos.

22 Enero, 2021, 02:50 am
Respuesta #2

S.S

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