Autor Tema: Superficies regulares, resultados.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

14 Enero, 2021, 07:48 pm
Leído 186 veces

S.S

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 200
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola a todos. Me encontré las siguientes dos proposiciones de las cuales voy escribir la prueba de manera parcial con el fin de hacer tres  preguntas sobre las mismas:(Las pruebas completas estan en Docarmo Geometría diferencial... Sección 2.2 variedades regulares)

\( {\bf proposición 1} \). Sea \( S \subset \mathbb{R}^3 \) una superficie regular y \(  p \in S  \), entonces existe un entorno \( V \) de \( p  \) tal que \(  V  \)  es la gráfica de una función diferenciable que tiene una de las tres formas siguientes: \( z = f(x,y), y = h(x,z), x = g(y,z) \).

Demostración:  Sea \( x: U \subset \mathbb{R}^{2}\rightarrow{S} \) una parametrización de \( S \) en \( p \), de la forma \( x(u,v) = (x(u,v),y(u,v), z(u,v)) \), como \( x \) es parametrización sea: \(  \frac{d(x,y)}{d(u,v)}  \) el menor complementario de la matriz \( dx_{q} \) que no se anula. \( (q =x^{-1}(p)) \). Sea \( \pi: \mathbb{R}^{3}\rightarrow{\mathbb{R}^{2}} \) la proyección en las dos primeras variables, assim \( (\pi \circ x)^{\prime} \) é um isomorfismo y por teorema de la función inversa existen abiertos \( V_{1}, V_{2} \) entornos de \( q \) y \( \pi \circ x(q) \) respectivamente tal que \(  \pi \circ x : V_{1}\rightarrow{V_{2}} \) es um difeomorfismo. Se sigue que \( \pi \) restringida a \( x(V_1) = V \) es inyectiva...

\( {\bf proposición 2.} \) Sea \( p \) un punto de una superficie regular \( S \) y sea \( x:U \subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow{\mathbb{R}^{3}} \) una aplicación con \( p \in x(U) \subset S \) que cumple \( x \) diferenciable e inyectiva y  \( dx_{q} \) inyectiva, entonces \( x^{-1} \) es continua.

Demostración: Sea \( p \in x(U) \), por la regularidad de \( S \) existe un entorno \( W_{p} \subset S \) el cual es el gráfico de una función diferenciable, definido sobre un abierto de \( V \subset \mathbb{R}^{2} \). Sea \( N = x^{-1}(W) \subset U \) y sea \( h= \pi \circ x \) donde \( \pi  \) es la proyección en las dos primeras variables, como en lla proyección en las dos primeras variables prueba anterior \( (\pi \circ x)^{\prime} \) é um isomorfismo y por teorema de la función inversa existe \( \Omega \) tal que \( h: \Omega \rightarrow{ h(\Omega)} \) es un difeomorfismo. \( x(\Omega) \) es abierto...

Las preguntas son:
1. En la primera prueba ¿\( x(V_{1}) \subset x(U)  \)?
2. En la segunda prueba ¿\( W \subset x(U) \) o no necesariamente?
3. En la segunda prueba ¿Por qué \( x(\Omega) \) es abierto?

Gracias.

15 Enero, 2021, 10:22 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,034
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola a todos. Me encontré las siguientes dos proposiciones de las cuales voy escribir la prueba de manera parcial con el fin de hacer tres  preguntas sobre las mismas:(Las pruebas completas estan en Docarmo Geometría diferencial... Sección 2.2 variedades regulares)

\( {\bf proposición 1} \). Sea \( S \subset \color{red}\mathbb{R}^n\color{black} \) una superficie regular y \(  p \in S  \), entonces existe un entorno \( V \) de \( p  \) tal que \(  V  \)  es la gráfica de una función diferenciable que tiene una de las tres formas siguientes: \( z = f(x,y), y = h(x,z), x = g(y,z) \).

Es \( S\subset R^3 \).

Citar
Demostración:  Sea \( x: U \subset \mathbb{R}^{2}\rightarrow{S} \) una parametrización de \( S \) en \( p \), de la forma \( x(u,v) = (x(u,v),y(u,v), z(u,v)) \), como \( x \) es parametrización sea: \(  \frac{d(x,y)}{d(u,v)}  \) el menor complementario de la matriz \( dx_{q} \) que no se anula. \( (q =x^{-1}(p)) \). Sea \( \pi: \mathbb{R}^{3}\rightarrow{\mathbb{R}^{2}} \) la proyección en las dos primeras variables, assim \( (\pi \circ x)^{\prime} \) é um isomorfismo y por teorema de la función inversa existen abiertos \( V_{1}, V_{2} \) entornos de \( q \) y \( \pi \circ x(q) \) respectivamente tal que \(  \pi \circ x : V_{1}\rightarrow{V_{2}} \) es um difeomorfismo. Se sigue que \( \pi \) restringida a \( x(V_1) = V \) es inyectiva...

Citar
Las preguntas son:
1. En la primera prueba ¿\( x(V_{1}) \subset U  \)?

No entiendo la pregunta (o dicho de otra forma la respuesta es claramente NO). \( x(V_1)\subset \Bbb R^3 \) pero \( U\subset \Bbb R^2. \) \( U \) es un abierto del dominio de \( x \), no de su imagen.

Citar
\( {\bf proposición 2.} \) Sea \( p \) un punto de una superficie regular \( S \) y sea \( x:\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow{\mathbb{R}^{3}} \) una aplicación con \( p \in x(U) \subset S \) que cumple \( x \) diferenciable e inyectiva y  \( dx_{q} \) inyectiva, entonces \( x^{-1} \) es continua.

Demostración: Sea \( p \in x(U) \), por la regularidad de \( S \) existe un entorno \( W_{p} \subset S \) el cual es el gráfico de una función diferenciable, definido sobre un abierto de \( V \subset \mathbb{R}^{2} \). Sea \( N = x^{-1}(W) \subset U \) y sea \( h= \pi \circ x \) donde \( \pi  \) es la proyección en las dos primeras variables, como en lla proyección en las dos primeras variables prueba anterior \( (\pi \circ x)^{\prime} \) é um isomorfismo y por teorema de la función inversa existe \( \Omega \) tal que \( h: \Omega \rightarrow{ h(\Omega)} \) es un difeomorfismo. \( x(\Omega) \) es abierto...

2. En la segunda prueba ¿\( W \subset x(U) \) o no necesariamente?

Si. Si \( x^{-1}(W)\subset U \) entonces \( xx^{-1}(W)\subset x(U) \). En general \( W\subset xx^{-1}(W) \). Y en concreto dado que \( W\subset Imagen(x) \), \( W=xx^{-1}(W) \).

Citar
3. En la segunda prueba ¿Por qué \( x(\Omega) \) es abierto?

Por definición de parametrización \( x \) es un homeomorfismo en la imagen y lleva abiertos en abiertos.

Saludos.

15 Enero, 2021, 12:24 pm
Respuesta #2

S.S

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 200
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola Luis Fuentes.
Gracias por las respuestas.
Si es \( \mathbb{R}^{3} \) en lugar de \( \mathbb{R}^{n} \).
En la primera pregunta es:  ¿\( x(V_{1}) \subset x(U) \)?
En la tercera pregunta no estoy seguro que \( x(\Omega) \) sea abierto porque de la función \( x \) por hipótesis solo sé que es diferenciable, inyectiva y con derivada inyectiva, todvia no es una parametrización, No sé si mi interpretación esta errada.

Pdt: Gracias por las observaciones, tratare de tener mas cuidado, ya corregí.

15 Enero, 2021, 12:42 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,034
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola Luis Fuentes.
Gracias por las respuestas.
Si es \( \mathbb{R}^{3} \) en lugar de \( \mathbb{R}^{n} \).
En la primera pregunta es:  ¿\( x(V_{1}) \subset X(U) \)?

Eso es inmediato porque \( V_1\subset U \). De hecho \( U \) es el domino de \( x \) y por tanto el dominio de  \( \pi\circ x \). El abierto V_1 garantizado por el teorema de ka función inversa aplicada a \( \pi\circ x \) es un subconjunto de su dominio.

Citar
En la tercera pregunta no estoy seguro que \( x(\Omega) \) sea abierto porque de la función \( x \) por hipótesis solo sé que es diferenciable, inyectiva y con derivada inyectiva, todvia no es una parametrización, No sé si mi interpretción esta errada.

Tienes razón. Esto tengo que pensarlo un poco más; no lo veo tan claro.

Saludos.