Autor Tema: Clasificar la cuadrica real

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

12 Enero, 2021, 10:06 pm
Leído 132 veces

Julio_fmat

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,584
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Fmat
Sea \( F_{\lambda}(x,y,z)=2xz-z^2+y^2-4z-\lambda x^2(x-1) \), con \( \lambda \in \mathbb{R} \) un parametro real. Clasificar la cuadrica real \( F_0 (x,y,z)=0. \)

Hola, buscamos la matriz asociada a la cuadrica? No me queda claro.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

12 Enero, 2021, 10:27 pm
Respuesta #1

mg

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 241
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,

No te la piden expresamente pero tienes que calcularla, para poder clasificar la cuádrica que es en lo que consiste el ejercicio. Yo solo tengo conocimientos en el espacio proyectivo por el momento, pero imagino que para el caso afín, el cual, supongo que es tu caso, necesitarás estudiar el rango como poco para poder clasificarla.

12 Enero, 2021, 10:53 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,011
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Sea \( F_{\lambda}(x,y,z)=2xz-z^2+y^2-4z-\lambda x^2(x-1) \), con \( \lambda \in \mathbb{R} \) un parametro real. Clasificar la cuadrica real \( F_0 (x,y,z)=0. \)

Hola, buscamos la matriz asociada a la cuadrica? No me queda claro.

Para clasificar la cuádrica afín igualmente puedes clasificar diagonalizando su matriz asociada por congruencia, pero con una consideración: la cuarta fila no puede ser ni cambiada de posición, ni multiplicada por un número, ni sumada a otra.

Si \( \lambda=0 \) la cuádrica queda:

\( 2xz-z^2+y^2-4z=0 \)

Matricialmente:

\( \begin{pmatrix}x&y&z&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &0 &1&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&-1&-2\\0&0&-2&0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\\\end{pmatrix}=0 \)

Para diagonalizar sumas a la primera fila la tercera y lo mismo en columnas:

\( \begin{pmatrix}1 &0 &0&-2\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&-2\\-2&0&-2&0\\\end{pmatrix} \)

A la cuarta fila le sumas la primera por dos y lo mismo en columnas:

\( \begin{pmatrix}1 &0 &0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&-2\\0&0&-2&-4\\\end{pmatrix} \)

y por último a la cuarta fila le sumas la tercera por \( -2 \) y lo mismo en columnas:

\( \begin{pmatrix}1 &0 &0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix} \)

Los signos son \( (+,+,-;0) \). Se trata de un cono real.

Saludos.

P.D. Te pueden ayudar estas notas:

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/pdfs/TEORIA4-2.pdf

y estos ejercicios resueltos:

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/pdfs/SOL4-2-2019-20.pdf

Saludos.