Autor Tema: Encontrar los lambda en C

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

12 Enero, 2021, 02:35 am
Leído 116 veces

Julio_fmat

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,584
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Fmat
Sea \( C_{\lambda}:=V(P_{\lambda})\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \), con \( \lambda \in \mathbb{C} \), una familia de cubicas definidas por \( P_{\lambda}:=P_{\lambda}(x,y,z)=y^2z-\lambda x^2(x-z). \) Encontrar todos los \( \lambda \in \mathbb{C} \) para los cuales \( C_{\lambda} \) es suave.

Hola, primero calculamos las derivadas parciales.

\( \dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial x}(x,y,z)=-3\lambda x^2+2\lambda xz=0 \)

\( \dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial y}(x,y,z)=2yz=0 \)

\( \dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial z}(x,y,z)=y^2+\lambda x^2=0 \)

De la primera ecuación, se tiene que:

\( -3\lambda x^2+2\lambda xz=0\implies \lambda (-3x^2+2xz)=0\implies \lambda=0 \, \vee \, -3x^2+2xz=0 \)

De la tercera ecuación tenemos que:

\( y^2+\lambda x^2=0\implies \lambda=-\dfrac{y^2}{x^2} \).

Entonces, los \( \lambda \in \mathbb{C} \) para los cuales \( C_{\lambda} \) es suave son: \( \lambda \ne 0 \) y \( \lambda \ne -\dfrac{y^2}{x^2} \).

"Haz de las Matemáticas tu pasión".

12 Enero, 2021, 10:04 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,012
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Sea \( C_{\lambda}:=V(P_{\lambda})\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \), con \( \lambda \in \mathbb{C} \), una familia de cubicas definidas por \( P_{\lambda}:=P_{\lambda}(x,y,z)=y^2z-\lambda x^2(x-z). \) Encontrar todos los \( \lambda \in \mathbb{C} \) para los cuales \( C_{\lambda} \) es suave.

Hola, primero calculamos las derivadas parciales.

\( \dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial x}(x,y,z)=-3\lambda x^2+2\lambda xz=0 \)

\( \dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial y}(x,y,z)=2yz=0 \)

\( \dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial z}(x,y,z)=y^2+\lambda x^2=0 \)

De la primera ecuación, se tiene que:

\( -3\lambda x^2+2\lambda xz=0\implies \lambda (-3x^2+2xz)=0\implies \lambda=0 \, \vee \, -3x^2+2xz=0 \)

De la tercera ecuación tenemos que:

\( y^2+\lambda x^2=0\implies \lambda=-\dfrac{y^2}{x^2} \).

Entonces, los \( \lambda \in \mathbb{C} \) para los cuales \( C_{\lambda} \) es suave son: \( \lambda \ne 0 \) y \( \lambda \ne -\dfrac{y^2}{x^2} \).

No está bien. Para que sean suaves, no pueden tener puntos singulares en ningún punto. Pero fíjate que el punto \( (x,y,z)=(0:0:1) \) anula todas las parciales independientemente del valor de \( \lambda \); es decir es un punto singular para todas las curvas de la familia.

Saludos.