Autor Tema: Descripcion de una cuadrica 2

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11 Enero, 2021, 01:02 am
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Julio_fmat

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Sea \( Q\subset \mathbb{P}_\mathbb{R}^3 \) la cuadrica con ecuacion \( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0. \) Escribir la ecuacion canonica estandar de \( Q \) y describir a \( Q. \)

Hola, quisiera saber si mi desarrollo es correcto. La matriz asociada a la cuadrica es \( A=\begin{bmatrix}
{1}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{-1}&{-2}&{0}\\
{0}&{-2}&{-2}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{-1}
\end{bmatrix} \). Notamos que \( det A\ne 0 \). Por lo tanto, \( \text{rg } A=4. \) Luego, la ecuacion canonica es \( x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=0 \). Se tiene que \( \text{Sgn } Q=(4,0) \). Luego, \( Q \) es no singular, \( Q \) es no reducible.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

11 Enero, 2021, 09:04 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( Q\subset \mathbb{P}_\mathbb{R}^3 \) la cuadrica con ecuacion \( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0. \) Escribir la ecuacion canonica estandar de \( Q \) y describir a \( Q. \)

Hola, quisiera saber si mi desarrollo es correcto. La matriz asociada a la cuadrica es \( A=\begin{bmatrix}
{1}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{-1}&{-2}&{0}\\
{0}&{-2}&{-2}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{-1}
\end{bmatrix} \). Notamos que \( det A\ne 0 \). Por lo tanto, \( \text{rg } A=4. \) Luego, la ecuacion canonica es \( x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=0 \). Se tiene que \( \text{Sgn } Q=(4,0) \). Luego, \( Q \) es no singular, \( Q \) es no reducible.

Está bien. Ojo, estaría bien si trabajamos en los complejos. En los reales no.

Saludos.

CORREGIDO

11 Enero, 2021, 09:22 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Hola

Sea \( Q\subset \mathbb{P}_\mathbb{R}^3 \) la cuadrica con ecuacion \( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0. \) Escribir la ecuacion canonica estandar de \( Q \) y describir a \( Q. \)

Hola, quisiera saber si mi desarrollo es correcto. La matriz asociada a la cuadrica es \( A=\begin{bmatrix}
{1}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{-1}&{-2}&{0}\\
{0}&{-2}&{-2}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{-1}
\end{bmatrix} \). Notamos que \( det A\ne 0 \). Por lo tanto, \( \text{rg } A=4. \) Luego, la ecuacion canonica es \( x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=0 \). Se tiene que \( \text{Sgn } Q=(4,0) \). Luego, \( Q \) es no singular, \( Q \) es no reducible.

Está bien.

Saludos.

Gracias el_manco, pero creo que hay un error... Si calculamos los valores propios de la matriz se tiene que \( \text{det}(A-\lambda I)=0\iff \text{det}\begin{bmatrix}
{1-\lambda}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{-1-\lambda}&{-2}&{0}\\
{0}&{-2}&{-2-\lambda}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{-1-\lambda}
\end{bmatrix}=0 \). De donde se tiene que \( \lambda=1 \, \vee \lambda=-1 \, \vee \lambda=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\, \vee \lambda =\dfrac{3-\sqrt{17}}{2} \).

De donde tenemos 2 valores propios positivos y 2 valores propios negativos. Luego, la signatura es \( \text{Sgn }Q=(2,2) \), cuya ecuacion canonica es \( x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2=0. \) Ademas, \( Q \) es no reducible, \( Q \) es no singular.

¿Esta bien ahora?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

12 Enero, 2021, 09:35 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Gracias el_manco, pero creo que hay un error... Si calculamos los valores propios de la matriz se tiene que \( \text{det}(A-\lambda I)=0\iff \text{det}\begin{bmatrix}
{1-\lambda}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{-1-\lambda}&{-2}&{0}\\
{0}&{-2}&{-2-\lambda}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{-1-\lambda}
\end{bmatrix}=0 \). De donde se tiene que \( \lambda=1 \, \vee \lambda=-1 \, \vee \lambda=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\, \vee \lambda =\dfrac{3-\sqrt{17}}{2} \).

De donde tenemos 2 valores propios positivos y 2 valores propios negativos. Luego, la signatura es \( \text{Sgn }Q=(2,2) \), cuya ecuacion canonica es \( x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2=0. \) Ademas, \( Q \) es no reducible, \( Q \) es no singular.

¿Esta bien ahora?

Si. Cierto. Como hay unos problemas sobre cuádricas y cónicas donde trabajas en los complejos y otros en los reales, mezclé un contexto con otro. Estaría bien si trabajásemos en los complejos; pero en los reales el rango no llega para clasificar.

Por otra parte, está bien usar los autovalores para calcular la signatura. Sin embargo en general, es más sencillo hacerlo diagonalizando la matriz por congruencia. Ten en cuenta que calcular los autovalores te supone resolver una ecuación polinómica de cuarto grado.

En tu caso sería simplemente a la tercera fila sumarle la segunda por \( -2 \) y lo mismo en columnas::

\( \begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{-1}&{-2}&{0}\\ {0}&{-2}&{-2}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{-1} \end{bmatrix}\rightarrow{}
\begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{-1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{2}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{-1} \end{bmatrix} \)

En la diagonal quedan dos positivos y dos negativos y por tanto la signatura es \( (2,2) \).

Saludos.