Autor Tema: Encontrar una homografia

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

10 Enero, 2021, 08:36 pm
Leído 122 veces

Julio_fmat

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,584
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Fmat
En \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \), sea \( Q \) la cuadrica con ecuacion \( Q: y^2+z^2-u^2-2xz+2yz=0. \) Sean \( \pi \) el plano proyectivo en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) dado por \( u=0 \) y \( C:=Q\cap \pi \subset \pi = \mathbb{P}_\mathbb{C}^2. \) Encontrar una homografia \( \omega: \mathbb{P}_\mathbb{C}^2\to \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) que reduce \( C \) a su forma canonica.

"Haz de las Matemáticas tu pasión".

11 Enero, 2021, 09:20 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,011
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

En \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \), sea \( Q \) la cuadrica con ecuacion \( Q: y^2+z^2-u^2-2xz+2yz=0. \) Sean \( \pi \) el plano proyectivo en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) dado por \( u=0 \) y \( C:=Q\cap \pi \subset \pi = \mathbb{P}_\mathbb{C}^2. \) Encontrar una homografia \( \omega: \mathbb{P}_\mathbb{C}^2\to \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) que reduce \( C \) a su forma canonica.

Dada la ecuación de una cuádrica:

\( \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=0 \)

y una homografía de expresión matricial:

\( \begin{pmatrix}x'&y'&z'\end{pmatrix}=w\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} \)

la ecuación de la transformada de la cuádrica es:

\( \begin{pmatrix}x'&y'&z'\end{pmatrix}A'\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\\\end{pmatrix}=0 \)

con \( A=M^tA'M  \)o equivalentemente \( A'=(M^{-1})^tAM^{-1} \).

Entonces la matriz \( M \) es la inversa de la matriz de paso por columnas que permite llevar por congruencia la matriz \( A \) a su forma diagonal canónica.

El proceso para calcular directamente \( M \) es el siguiente:

- Diagonaliza por congruencia (mismas operaciones fila que columna) la matriz asociada a la cónica hasta llevarla hasta su forma canónica. En su día te enlacé un vídeo con ejemplos sobre como se hace.
- Para obtener \( M \) haz sobre la identidad las operaciones columna que has hecho en el proceso anterior, pero invertidas y en orden opuesto al realizado.

En tu caso la intersección del plano \( u=0 \) con la cuádrica dada es:

\( y^2+z^2-2xz+2yz=0 \)

y por tanto la matriz sobre la cuál trabajarás:

\( A=\begin{pmatrix}\hfill 0 &0 &-1\\\hfill 0&1&\hfill 1\\-1&1&\hfill 1\\\end{pmatrix} \)

Saludos.