Autor Tema: Existencia de movimiento rígido.

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06 Enero, 2021, 04:31 pm
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S.S

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Hola a todos estoy estudiando geometría diferencial y me encontré lo siguiente:

Sean \( \alpha, \beta : I \rightarrow{ \mathbb{R}^3} \) curvas tales que \( k_{\alpha}= k_{\beta} \) y \( \tau_{\alpha}= \tau_{\beta} \) para cada \( s \in I \), entonces existe un moviento rigido \( M: \mathbb{R} ^3 \rightarrow{\mathbb{R} ^3} \) tal que \( M(t_{\alpha}) = t _ {\beta} \), \( M(n_{\alpha}) = n _ {\beta} \), y \( M(b_{\alpha}) = b _ {\beta} \).

Donde \( t_{\alpha} \),  \( t _ {\beta} \), \( n_{\alpha} \) , \( n_{\beta} \), \( b_{\alpha} \) y \( b _ {\beta} \) son los vectores tangentes unitarios, normales unitarios y binormales a las curvas.

 La cuestión es que el libro dice que es evidente pero no logro expresarlo de manera explícita.  Gracias.




06 Enero, 2021, 10:58 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola a todos estoy estudiando geometría diferencial y me encontré lo siguiente:

Sean \( \alpha, \beta : I \rightarrow{ \mathbb{R}^3} \) curvas tales que \( k_{\alpha}= k_{\beta} \) y \( \tau_{\alpha}= \tau_{\beta} \) para cada \( s \in I \), entonces existe un moviento rigido \( M: \mathbb{R} ^3 \rightarrow{\mathbb{R} ^3} \) tal que \( M(t_{\alpha}) = t _ {\beta} \), \( M(n_{\alpha}) = n _ {\beta} \), y \( M(b_{\alpha}) = b _ {\beta} \).

Donde \( t_{\alpha} \),  \( t _ {\beta} \), \( n_{\alpha} \) , \( n_{\beta} \), \( b_{\alpha} \) y \( b _ {\beta} \) son los vectores tangentes unitarios, normales unitarios y binormales a las curvas.

 La cuestión es que el libro dice que es evidente pero no logro expresarlo de manera explícita.  Gracias.

 Fijado un punto \( s_0\in I \) define \( M \) como la transformación afín que lleva el punto \( \alpha(s_0) \) en \( \beta(s_0) \) y la base ortonormal \( t_{\alpha}(s_0),n_{\alpha}(s_0),b_{\alpha}(s_0) \) en \( t_{\beta}(s_0),n_{\beta}(s_0),b_{\beta}(s_0) \) . Luego comprueba que cumple lo que buscas.

Saludos.

07 Enero, 2021, 01:12 pm
Respuesta #2

S.S

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Hola Luis Gracias por la respuesta.

La verdad no conozco las transformaciones afines, por la sugerencia fui a buscar y lo que encontré fue que una transformación afín es la composición de una traslación con una transformación lineal, pero aún no logro plantear la transformación afín.

07 Enero, 2021, 07:37 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

La verdad no conozco las transformaciones afines, por la sugerencia fui a buscar y lo que encontré fue que una transformación afín es la composición de una traslación con una transformación lineal, pero aún no logro plantear la transformación afín.

¿Sabes lo que es una transformación lineal? ¿Sabes que significa que sea ortogonal, es decir, que conserve las distancias? ¿Sabes lo qué es un movimiento rígido?.

Sino aclaramos primero esos conceptos es difícil poder hacer este ejercicio.

Saludos.

08 Enero, 2021, 02:29 am
Respuesta #4

S.S

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Hola Luis, gracias.

Leí las definiciones, la única que no encuentro es de movimiento rígido,  que parece una clase especial de transformación ortogonal.

08 Enero, 2021, 09:02 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Hola Luis, gracias.

Leí las definiciones, la única que no encuentro es de movimiento rígido,  que parece una clase especial de transformación ortogonal.

Mira por aquí:

http://www.ugr.es/~rcamino/docencia/geo1-03/g1tema9.pdf

Saludos.

09 Enero, 2021, 02:47 pm
Respuesta #6

S.S

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Gracias, voy a revisarlo y cualquier cuestión pregunto, la verdad si quiero hacer la construcción, gracias de nuevo.