Autor Tema: Hallar plano perpendicular auna recta y que contiene a otra.

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29 Diciembre, 2020, 10:58 pm
Respuesta #10

w a y s

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Hola.

Muchísimas gracias todos por vuestra ayuda.

Buen intento feriva, la verdad es que me gustaría encontrar alguna otra forma de abordar el problema, pero a mi desde luego no se me ocurre ninguna.

Gracias por tu aporte.

Saludos.

El vector que me salía (si no he hecho nada mal) \( v=(a-2,\,3,\,-3)
  \), te sirve como segundo vector LI del plano junto a \( v=(3,\,2,\, a)
  \) para hacer cosas,

Por otra parte, sacando las paramétricas de “l”, también puedes intentar algo con un punto genérico del plano

\( l:\left\{ \begin{array}{c}
x-y+z=1\\
2x+y-z=2
\end{array}\right.
  \)

Sumando las ecuaciones \( x=1
  \)

y entonces

\( y=z=\lambda
  \).

Cualquier punto de “l” tiene la forma \( (1,\lambda,\lambda)
  \).

La ecuación vectorial del plano la podemos representar entonces así

\( (1,k,k)=(1,h,h)+\alpha(3,2,a)+\beta(a-2,3,-3)
  \)

(no, que ahí he usado dos puntos de la misma recta, no sirve eso, uno de los puntos no puede ser de esa forma

y ahora veo que me había equivocado de vector, he metido el perpendicualr; sería esto

\( (x,y,z)=(1,\lambda,\lambda)+\alpha(0,1,1)+\beta(a-2,3,-3)
  \)

donde puedes hacer lambda igual a cero y tienes

\( (x,y,z)=(1,0,0)+\alpha(0,1,1)+\beta(a-2,3,-3)
  \)

nada de lo que sigue vale.

)

es decir, tendremos

\( 3\alpha+a\beta-2\beta=0
  \)

\( 2\alpha+3\beta=k-h
  \)

\( a\alpha-3\beta=k-h
  \)

esto es

\( 2\alpha+3\beta=a\alpha-3\beta
  \)

\( \alpha(a-2)=6\beta
  \)

\( \beta=\dfrac{\alpha(a-2)}{6}
  \)

Me empieza a parecer enrevesado, tiene que poderse hacer más corto y no estoy viendo algo; pero salir, si no me he equivocado, al final tiene que salir.

(ah, acabo de ver que ha contestado martiniano mientras escribía)

Saludos.

La verdad es que sí se hizo un poco enrevesado feriva. Aun así es un planteamiento interesante. Muchas gracias.

Hola

  Se consideran las rectas $$  l:\left\{ \begin{array}{c} x-y+z=1 \\ 2x+y-z=2 \end{array}\right. $$ y $$l';(2,-1,0)+L((3,2,a))$$. Calcula $$a\in \mathbb{R}$$ para que exista un plano que contenga a $$l$$
  y sea perpendicular a $$l'$$, calcula dicho plano.

Otra forma de razonar: Un plano que contiene a la recta \( l \) pertenece al haz de planos que generan sus ecuaciones:

\( \alpha(x-y+z-1)+\beta(2x+y-z-2)=0 \)

Para que uno de esos planos sea perpendicular a \( l' \), su vector normal debe de ser paralelo al vector director de \( l' \). Equivalentemente este vector debe de ser combinación lineal de los vectores normales de los planos generadores del haz, \( (1,-1,1) \) y \( (2,1,-1) \).

Esto equivale simplemente a que el siguiente determinante sea nulo:

\( det\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{1}\\{2}&{1}&{-1}\\{3}&{2}&{a}\end{bmatrix}=0 \)

Resolviendo queda \( a=-2 \).

Después se impone:

\( \alpha(1,-1,1)+\beta(2,1,-1)=(3,2,-2) \)

se obtienen los valores de \( \alpha \) y \( \beta \) que sustituidos en el haz devuelven el plano pedido.

Saludos.

Otra interesante idea para resolver el problema. La verdad es que no recordaba eso de los haces de plano. Gracias por tu aporte.

Finalmente, robinlambada, tenías razón, mis cálculos estaban bien, lo que estaba mal era la simulación en geogebra. Muchas gracias por haberla hecho correctamente por mí para poder comprobarlo.

De nuevo, muchas gracias a todos por vuestra ayuda.  ;D

Saludos.

29 Diciembre, 2020, 11:05 pm
Respuesta #11

feriva

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La verdad es que sí se hizo un poco enrevesado feriva. Aun así es un planteamiento interesante. Muchas gracias.


De nada y perdona el lío, todo ha sido culpa de los despistes, en el fondo es bastante sencillo.

Saludos.

29 Diciembre, 2020, 11:08 pm
Respuesta #12

w a y s

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La verdad es que sí se hizo un poco enrevesado feriva. Aun así es un planteamiento interesante. Muchas gracias.


De nada y perdona el lío, todo ha sido culpa de los despistes, en el fondo es bastante sencillo.

Saludos.

No hay nada por lo que disculparse. De hecho si no fuera por mi lío con geogebra este hilo ni siquiera existiría.  ;D ;D

Saludos.

29 Diciembre, 2020, 11:32 pm
Respuesta #13

Juan Pablo Sancho

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Con lo que te propuse  creo que era un poco más corto.
Spoiler
Tienes el vector \( (0,1,1)  \) y el vector \( (3,2,a)  \) entonces para que sean perpendiculares  usamos producto escalar :  \(  0 = <(0,1,1) \cdot (3,2,a) > = 2 + a  \) entonces \(  a = -2  \).
Usamos el producto vectorial \(  \vec{v} = (0,1,1) \times (3,2,-2) = (-4,3,-3)  \)
El plano es \( \pi = (1,0,0) + \mu(0,1,1) + \sigma(-4,3,-3)  \)
\( \pi \equiv 6 \cdot x + 4 \cdot y - 4 \cdot z -6 = 0 \)
[cerrar]

 

30 Diciembre, 2020, 12:48 am
Respuesta #14

w a y s

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Hola Juan Pablo Sancho.

Sí tienes razón, parece más corto. Gracias por tu idea. ;D

Saludos.

30 Diciembre, 2020, 01:05 am
Respuesta #15

Juan Pablo Sancho

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