Autor Tema: Hallar plano perpendicular auna recta y que contiene a otra.

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28 Diciembre, 2020, 11:10 pm
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w a y s

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Hola.

Tengo el siguiente enunciado,

  Se consideran las rectas $$  l:\left\{ \begin{array}{c} x-y+z=1 \\ 2x+y-z=2 \end{array}\right. $$ y $$l';(2,-1,0)+L((3,2,a))$$. Calcula $$a\in \mathbb{R}$$ para que exista un plano que contenga a $$l$$
  y sea perpendicular a $$l'$$, calcula dicho plano.

Para resolver el problema he pensado que bastaría con calcular el vector director de $$l$$, $$\vec{d_l}=(0,1,1)$$, y exigir que $$\vec{d_l}\cdot (3,2,a)=0$$, para que así $$(3,2,a)$$ sea el vector normal del plano que buscamos.¿Es este razonamiento correcto?

Si es correcto, al calcular $$a$$ me sale que el vector que busco es $$(3,2,-2)$$ y aquí tengo otro problema. La ecuación implícita de un plano es $$Ax+By+Cz+D=0$$, en este caso sería $$3x+2y-2z+D=0$$. ¿Podría alguien, por favor, darme una pista para calcular la constante $$D$$?

Gracias de antemano. Saludos.

28 Diciembre, 2020, 11:23 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Sí, está bien.

Para calcular \( D \) debes imponer que el plano contenga un punto de \( l \). Con lo que has hecho hasta ahora lo único que tienes es un plano perpendicular a \( l' \) que contiene una recta paralela a \( l \). Hay infinitos planos que cumplen esa condición, por eso te queda el parámetro \( D \). Para fijarlo hay que imponer que el plano contenga a la recta \( l \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

28 Diciembre, 2020, 11:26 pm
Respuesta #2

w a y s

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Hola.
Para calcular \( D \) debes imponer que el plano contenga un punto de \( l \). Con lo que has hecho hasta ahora lo único que tienes es un plano perpendicular a \( l' \) que contiene una recta paralela a \( l \). Hay infinitos planos que cumplen esa condición, por eso te queda el parámetro \( D \). Para fijarlo hay que imponer que el plano contenga a la recta \( l \).

Eso era lo que había hecho, pero comprobándolo con geogebra me salía mal.Después de revisar los cálculos noté que no tenía errores, así que eso me hizo pensar que el razonamiento era erróneo, supongo que habré cometido algún fallo de cálculo que he pasado por alto.

Muchas gracias por tu ayuda, geómetracat.

29 Diciembre, 2020, 01:31 am
Respuesta #3

feriva

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Hola, w a y s.

Este invento del spoiler no llega para lo que se quiere, no sirve

Spoiler

Creo que te vale con encontrar otro vector perpendicular a los otros dos; entonces... usa el producto vectorial, por ejemplo.

A ver si me acuerdo

\( \left(\begin{array}{ccc}
+ & - & +\\
i & j & k\\
0 & 1 & 1\\
3 & 2 & a
\end{array}\right)
  \)

me sale \( v=(a-2,\,3,\,-3)
  \)

Entonces, como tiene ser perpendicular a (0,1,1) pues ahora por producto escalar...

\( (a-2,\,3,\,-3)\circ(0,1,1)=0
  \)

y esto no nos sirve.

Entonces con el otro

\( (a-2,\,3,\,-3)\circ(3,2,1)=0
  \)

\( 3a-6+6-3=0
  \)

Ah, no que he puesto un 1 en vez de una a, no vale


[cerrar]

Saludos.

29 Diciembre, 2020, 03:36 am
Respuesta #4

w a y s

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Buen intento feriva, la verdad es que me gustaría encontrar alguna otra forma de abordar el problema, pero a mi desde luego no se me ocurre ninguna.

Gracias por tu aporte.

Saludos.

29 Diciembre, 2020, 04:16 am
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

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La recta \( l \) es \( l(t)  = (1,0,0) + t \cdot (0,1,1)  \) entonces puedes sacar el valor de \( a \) haciendo producto escalar,  luego hacer el producto vectorial para sacar el otro vector que define el plano.

29 Diciembre, 2020, 08:02 am
Respuesta #6

martiniano

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Hola.

Eso era lo que había hecho, pero comprobándolo con geogebra me salía mal.Después de revisar los cálculos noté que no tenía errores, así que eso me hizo pensar que el razonamiento era erróneo, supongo que habré cometido algún fallo de cálculo que he pasado por alto.

A lo mejor, si muestras esos cálculos, entre todos podemos averiguar qué es lo que pasa.

Un saludo

29 Diciembre, 2020, 08:35 am
Respuesta #7

feriva

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Buen intento feriva, la verdad es que me gustaría encontrar alguna otra forma de abordar el problema, pero a mi desde luego no se me ocurre ninguna.

Gracias por tu aporte.

Saludos.

El vector que me salía (si no he hecho nada mal) \( v=(a-2,\,3,\,-3)
  \), te sirve como segundo vector LI del plano junto a \( v=(3,\,2,\, a)
  \) para hacer cosas,

Por otra parte, sacando las paramétricas de “l”, también puedes intentar algo con un punto genérico del plano

\( l:\left\{ \begin{array}{c}
x-y+z=1\\
2x+y-z=2
\end{array}\right.
  \)

Sumando las ecuaciones \( x=1
  \)

y entonces

\( y=z=\lambda
  \).

Cualquier punto de “l” tiene la forma \( (1,\lambda,\lambda)
  \).

La ecuación vectorial del plano la podemos representar entonces así

\( (1,k,k)=(1,h,h)+\alpha(3,2,a)+\beta(a-2,3,-3)
  \)

(no, que ahí he usado dos puntos de la misma recta, no sirve eso, uno de los puntos no puede ser de esa forma

y ahora veo que me había equivocado de vector, he metido el perpendicualr; sería esto

\( (x,y,z)=(1,\lambda,\lambda)+\alpha(0,1,1)+\beta(a-2,3,-3)
  \)

donde puedes hacer lambda igual a cero y tienes

\( (x,y,z)=(1,0,0)+\alpha(0,1,1)+\beta(a-2,3,-3)
  \)

nada de lo que sigue vale.

)

es decir, tendremos

\( 3\alpha+a\beta-2\beta=0
  \)

\( 2\alpha+3\beta=k-h
  \)

\( a\alpha-3\beta=k-h
  \)

esto es

\( 2\alpha+3\beta=a\alpha-3\beta
  \)

\( \alpha(a-2)=6\beta
  \)

\( \beta=\dfrac{\alpha(a-2)}{6}
  \)

Me empieza a parecer enrevesado, tiene que poderse hacer más corto y no estoy viendo algo; pero salir, si no me he equivocado, al final tiene que salir.

(ah, acabo de ver que ha contestado martiniano mientras escribía)

Saludos.

29 Diciembre, 2020, 09:54 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

  Se consideran las rectas $$  l:\left\{ \begin{array}{c} x-y+z=1 \\ 2x+y-z=2 \end{array}\right. $$ y $$l';(2,-1,0)+L((3,2,a))$$. Calcula $$a\in \mathbb{R}$$ para que exista un plano que contenga a $$l$$
  y sea perpendicular a $$l'$$, calcula dicho plano.

Otra forma de razonar: Un plano que contiene a la recta \( l \) pertenece al haz de planos que generan sus ecuaciones:

\( \alpha(x-y+z-1)+\beta(2x+y-z-2)=0 \)

Para que uno de esos planos sea perpendicular a \( l' \), su vector normal debe de ser paralelo al vector director de \( l' \). Equivalentemente este vector debe de ser combinación lineal de los vectores normales de los planos generadores del haz, \( (1,-1,1) \) y \( (2,1,-1) \).

Esto equivale simplemente a que el siguiente determinante sea nulo:

\( det\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{1}\\{2}&{1}&{-1}\\{3}&{2}&{a}\end{bmatrix}=0 \)

Resolviendo queda \( a=-2 \).

Después se impone:

\( \alpha(1,-1,1)+\beta(2,1,-1)=(3,2,-2) \)

se obtienen los valores de \( \alpha \) y \( \beta \) que sustituidos en el haz devuelven el plano pedido.

Saludos.

29 Diciembre, 2020, 10:15 am
Respuesta #9

robinlambada

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Hola.
Para calcular \( D \) debes imponer que el plano contenga un punto de \( l \). Con lo que has hecho hasta ahora lo único que tienes es un plano perpendicular a \( l' \) que contiene una recta paralela a \( l \). Hay infinitos planos que cumplen esa condición, por eso te queda el parámetro \( D \). Para fijarlo hay que imponer que el plano contenga a la recta \( l \).

Eso era lo que había hecho, pero comprobándolo con geogebra me salía mal.Después de revisar los cálculos noté que no tenía errores, así que eso me hizo pensar que el razonamiento era erróneo, supongo que habré cometido algún fallo de cálculo que he pasado por alto.

Muchas gracias por tu ayuda, geómetracat.
Debes tener mal la simulación con geogebra, con la indicación de geometracat  debe de salir, lo que as calculado está bien, y si sustituyes el punto (1,1,0) en el plano te da \(  D=-3 \).
Se comprueba con geogebra que está bien.


Saludos
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.