Autor Tema: Discos con puntos identificados entre si por un entero es simplemente conexo.

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28 Diciembre, 2020, 08:17 am
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lindtaylor

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Sean \( D_1,\, D_2 \) 2-discos con frontera los círculos \( S_1 \) y \( S_2 \) respectivamente. El espacio \( X \) es la unión de  \( D_1  \) y \( D_2 \) con puntos en \( S_1 \) identificados con puntos de \( S_2 \) por la regla \( \exp(2\pi i t)  \) en \( S_1 \) es identificado con  \( \exp(2\pi i n t)  \) en \( S_2 \) donde \( n \) es algún entero positivo. Demuestre que \( X \) es simplemente conexo.

Hola. Este problema pertenece al libro de topología algebraica de Kosniowski y pertenece al apartado de cálculos con el teorema de Seifert Van Kampen. ¿Qué abiertos me recomiendan tomar para poder aplicar este teorema? al menos de forma intuitiva pues estoy algo perdido.
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28 Diciembre, 2020, 02:09 pm
Respuesta #1

geómetracat

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El espacio obtenido a partir de dos discos pegándolos por el borde (da igual cómo) es siempre homeomorfo a una esfera, luego simplemente conexo.

De todas maneras, para calcular el grupo fundamental con Seifert-van Kampen, puedes tomar dos puntos interiores a los discos \( p_1 \in D_1, p_2 \in D_2 \), y considerar \( U_1 = X \setminus \{p_1\}, U_2 = X \setminus \{p_2\} \). Cada uno de estos abiertos es homotópicamente equivalente a un punto, y su intersección es homotópicamente equivalente a \( S^1 \), luego el grupo fundamental de \( X \) es trivial.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

28 Diciembre, 2020, 03:15 pm
Respuesta #2

lindtaylor

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El espacio obtenido a partir de dos discos pegándolos por el borde (da igual cómo) es siempre homeomorfo a una esfera, luego simplemente conexo.

De todas maneras, para calcular el grupo fundamental con Seifert-van Kampen, puedes tomar dos puntos interiores a los discos \( p_1 \in D_1, p_2 \in D_2 \), y considerar \( U_1 = X \setminus \{p_1\}, U_2 = X \setminus \{p_2\} \). Cada uno de estos abiertos es homotópicamente equivalente a un punto, y su intersección es homotópicamente equivalente a \( S^1 \), luego el grupo fundamental de \( X \) es trivial.

A claro. No lo había visto así. Al pegarlos queda una esfera luego el grupo fundamental es trivial.
Por otro lado, ¿por qué \( X-\setminus\{p_1\} \) es homotópico a un punto? no logro verlo. Visualmente el orificio que queda al sacar \( p_1 \) de \( D_1 \) se puede agrandar al punto de quedar encima de la frontera de \( D_1 \), luego \( D_1\setminus\{p_1\} \) se transforma en un círculo y \( D_2 \) es contractible a un punto, pero no logro ver que el espacio menos un punto se vaya un punto.
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28 Diciembre, 2020, 03:23 pm
Respuesta #3

lindtaylor

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A creo que ya entendí. Sumado a lo que dije, el primer disco menos un punto se transforma en un círculo y este círculo está identificado a la frontera del otro disco. Luego todo se transforma en el segundo disco y luego este disco es contractible.
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28 Diciembre, 2020, 03:27 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Por otro lado, ¿por qué \( X-\setminus\{p_1\} \) es homotópico a un punto? no logro verlo. Visualmente el orificio que queda al sacar \( p_1 \) de \( D_1 \) se puede agrandar al punto de quedar encima de la frontera de \( D_1 \), luego \( D_1\setminus\{p_1\} \) se transforma en un círculo y \( D_2 \) es contractible a un punto, pero no logro ver que el espacio menos un punto se vaya un punto.

Pues justo lo que dices, un disco menos un punto del interior es homotópicamente equivalente a \( S^1 \) (se retrae a su frontera). Ahora, si haces eso en \( X = D_1 \cup_f D_2 \) (donde \( f:S^1 \to S^1 \) es la aplicación que identifica las fronteras), te quedas con \( D_1 \cup_f S^1 \cong D_1 \). Luego \( X \setminus \{p_2\} \) es homotópicamente equivalente a \( D_1 \). Y finalmente, \( D_1 \) es homotópicamente equivalente a un punto. Componiendo las dos, tienes que el abierto es homotópicamente equivalente a un punto.

PD: Mientras estaba escribiendo esto has escrito el siguiente mensaje. Efectivamente, es justo eso que dices.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)