Autor Tema: Variedad tangente

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27 Diciembre, 2020, 07:02 pm
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mg

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Sea Q la cuádrica de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \)de ecuación \( 2x_0x_1+x_2^2-x_3^2=0 \) y sea \( H\equiv{}(x_0+x_2-x_3=0) \) un plano.

1. Probar que H es tangente a Q en un punto P y determinar el punto P.

La primera parte es fácil, es una mera comprobación dado un resultado visto en teoría. Si la dimensión del espacio es \( n\geq{}2 \), Q es no degenerada y H es un hiperplano entonces H es tangente Q si y solo si el rango de la restricción \( Q_{|H} \) es n-1. Se puede comprobar que es cierto. Ahora bien, para demostrar que es tangente en un punto \( P\in{}H \), este punto debe cumplir que \( H\subseteq{}polar(P) \). Aquí es donde vienen las dudas. (como encontrar ese punto). Un sistema de referencia R de H es por ejemplo \( \left\{{(1:0:-1:0)=P_1,(1:0:0:1)=P_2,(0:1:0:0)=P_3,(2:1:-1:1)=U}\right\} \)

Oberservese que:

\( polar(P_1)=\left\{{x_0=x_2=0}\right\} \)
\( polar(P_2)=\left\{{x_0=x_3=0}\right\} \)
\( polar(P_3)=\left\{{x_1=0}\right\} \)

Y pues no se me ocurre la forma de hallar P.

Y a parte de eso si \( polar(H)={\underbrace{\cap}_{P\in{}H}}polar(P) \) entonces la ¿\( polar(H)=(0:0:0:0) \)? Eso no tendría mucho sentido, además que por un hilo que hemos tratado hace poco \( polar(H)=pA^{-1}=\left\{{x_0=x_2=x_3=0}\right\} \).

Un saludo

28 Diciembre, 2020, 09:36 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea Q la cuádrica de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \)de ecuación \( 2x_0x_1+x_2^2-x_3^2=0 \) y sea \( H\equiv{}(x_0+x_2-x_3=0) \) un plano.

1. Probar que H es tangente a Q en un punto P y determinar el punto P.

La primera parte es fácil, es una mera comprobación dado un resultado visto en teoría. Si la dimensión del espacio es \( n\geq{}2 \), Q es no degenerada y H es un hiperplano entonces H es tangente Q si y solo si el rango de la restricción \( Q_{|H} \) es n-1. Se puede comprobar que es cierto. Ahora bien, para demostrar que es tangente en un punto \( P\in{}H \), este punto debe cumplir que \( H\subseteq{}polar(P) \). Aquí es donde vienen las dudas. (como encontrar ese punto). Un sistema de referencia R de H es por ejemplo \( \left\{{(1:0:-1:0)=P_1,(1:0:0:1)=P_2,(0:1:0:0)=P_3,(2:1:-1:1)=U}\right\} \)

Oberservese que:

\( polar(P_1)=\left\{{x_0=x_2=0}\right\} \)
\( polar(P_2)=\left\{{x_0=x_3=0}\right\} \)
\( polar(P_3)=\left\{{x_1=0}\right\} \)

Estás calculando mal esas polares. Para \( polar(P_1) \) sería:

\( (1\quad 0\quad -1\quad 0)A\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\x_3\\\end{pmatrix}=0 \)

donde \( A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix} \) es la matriz asociada a la cuádrica. Te queda que \( polar(P_1) \) es el plano de ecuación \( x_1-x_2=0 \).

Análogamente se obtiene que \( polar(P_2)\equiv x_1-x_3=0=0 \) y \( polar(P_3)\equiv x_0=0 \).

La intersección de esos tres planos es el punto \( (0:1:1:1) \) que es el punto buscado.

Citar
Eso no tendría mucho sentido, además que por un hilo que hemos tratado hace poco \( polar(H)=pA^{-1}=\left\{{x_0=x_2=x_3=0}\right\} \).

De nuevo interpretas mal ese cálculo. No hay nada que igualar a cero. Simplemente:

\( polar(H)=pA^{-1}=(1\quad 0\quad 1\quad -1)\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}^{-1}=(0\quad 1\quad 1\quad 1) \)

Saludos.

P.D. Otra forma de comprobar (1) es verificar que los coeficientes del hiperplano \( (1,0,1,-1) \) cumplen la ecuación de la cuádrica dual \( xA^{-1}x^t=0 \).

30 Diciembre, 2020, 12:05 am
Respuesta #2

mg

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Hola Luis,

Si es cierto, tienes toda la razón. Ha sido un error mio.

Muchas gracias, como siempre.