Autor Tema: Multiplicidad y recta tangente

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27 Diciembre, 2020, 04:10 am
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Julio_fmat

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Sea \( C_{\lambda}:=V(P_{\lambda})\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \), con \( \lambda\in \mathbb{C} \), una familia de cubicas definidas por \( P_\lambda:=P_{\lambda}(x,y,z)=(y-x)(y+x)z+\lambda x^2(x-2z). \) Para \( \lambda=1 \), calcular la multiplicidad de \( p:=(0:0:1)\in C_1 \) y escribir la recta tangente \( T_p C_1\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \).
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27 Diciembre, 2020, 08:25 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( C_{\lambda}:=V(P_{\lambda})\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \), con \( \lambda\in \mathbb{C} \), una familia de cubicas definidas por \( P_\lambda:=P_{\lambda}(x,y,z)=(y-x)(y+x)z+\lambda x^2(x-2z). \) Para \( \lambda=1 \), calcular la multiplicidad de \( p:=(0:0:1)\in C_1 \) y escribir la recta tangente \( T_p C_1\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \).

Considera la realización afín de la curva en el plano tomando el plano \( z=0 \) como plano del infinito, es decir, haciendo \( z=1 \).

La curva queda (para \( \lambda=1 \)):

\( (y-x)(y+x)+x^3=0 \)

La multiplicidad de un punto \( (a,b) \) de la curva es entonces el menor grado de los monomios del desarrollo del polinomio centrado en el punto \( (a,b) \).

En este caso \( (a,b)=(0,0) \) y por tanto el polinomio ya está centrado en ese punto.

Los términos de menor grado son \( (y-x)(y+x) \) (grado dos) y por tanto es un punto con multiplicidad dos.

Tiene dos ramas tangentes que corresponden a los factores lineales en que se factoriza ese término de grado 2, es decir, las rectas \( y-x=0 \) e \( y+x=0 \).

Saludos.

P.D. Si tienes dudas debes de indicar en detalle cuáles son. Además sería bueno que también comentases que libro y/o apuntes sigues y/o cómo te han definido los conceptos que intervienen en el ejercicio y las formas que te han enseñado para calcularse. Hay diversos enfoques, unos algebraicos, otros geométricos, otros analíticos....