Autor Tema: Determinar la longitud de los lados y los vértices del siguiente cuadrado.

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26 Diciembre, 2020, 06:36 pm
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w a y s

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Hola.

Tengo el siguiente enunciado:

    En el plano euclídeo se consideran los puntos $$P=(2,0)$$ y $$Q=(-3,-3)$$. Se considera el cuadrado $$C$$ que tiene a $$P$$ y $$Q$$ como vértices opuestos. Determina la longitud de los lados de
    $$C$$ y calcula los otros dos vértices de $$C$$.

Lo primero que hice fue hallar la longitud de los lados. Para ello calculé el vector $$\vec{QP}=(5,3)$$, ya que estos dos vértices son opuestos se tiene que su módulo será la longitud de la diagonal del cuadrado luego $$d=||\vec{QP}||=\sqrt{(5^2 + 3^2)}=\sqrt{34}$$. Aplicando el teorema de Pitágoras deduzco que $$d^2=2l^2$$, luego $$l=\sqrt{17}$$.

Hasta ahí todo bien, mi problema viene al calcular los demás vértices. He pensado en las siguientes estrategias para resolverlo.

Lo primero que se me ocurrió fue hallar el punto medio de $$\vec{QP}$$. Lo hice así, $$M=Q+\frac{1}{2}\vec{QP}=(\frac{-1}{2},\frac{-3}{2})$$.
A partir de aquí tomo un punto genérico $$R \in \mathbb{A}^2 (\mathbb{R})$$, tal que $$R=(a,b)$$ al que le exijo que $$||\vec{PR}||=||\vec{QR}||$$ y que $$\vec{MR}\cdot \vec{QP}=0$$.
De esta froma obtuve los vértices para formar un paralelogramo, ya que esta no era el cuadrilátero que buscaba decidí pensar en otra estrategia.

Lo siguiente que se me ocurrió fue exigir las dos condiciones siguientes $$\vec{PR}\cdot \vec{QR}=0$$ y $$\vec{MR}\cdot \vec{QP}=0$$ para así obtener un sistema de ecuaciones lineales y hallar los vértices del cuadrado. Así obtuve las coordenadas de $$R=(\frac{-1}{5},-2)$$ pero tampoco son las que busco.

Ya de últimas se me ocurrió que $$P$$ y $$Q$$ son los afijos de dos números complejos y que bastaría con hacer un giro de $$90º$$ en sentido antihorario y horario con centro en $$M$$.  Así creo que sí saldría y de una forma bastante cómoda, sin embargo yo estoy buscando un argumento geométrico.

¿Podría alguien por favor decirme por qué mis dos primeras ideas no están bien?

Muchas gracias de antemano. Saludos.
 

26 Diciembre, 2020, 07:31 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola


Te ayudo respecto a la primera idea, es decir la razón de que no conduce a la solución, los puntos R tales que \( \left\|{QR}\right\|=\left\|{PR}\right\| \) constituyen la mediatriz del segmento \( QP \), los vértices faltantes están ahí; pero hay que determinarlos. La siguiente condición \( \vec{MR}\cdot{\vec{QP}}=0 \) la cumplen nuevamente todos los puntos de la mediatriz, entonces estas 2 condiciones no determinan a los vértices faltantes, para resolver el problema es necesario dar las condiciones de tal manera que los únicos puntos que las cumplan sean los vértices faltantes.




Saludos

26 Diciembre, 2020, 07:34 pm
Respuesta #2

w a y s

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Hola delmar.

Sí, ya veo mi error. Bastaría con exigir la condición $$\vec{QR}\cdot \vec{PR}=0$$ junto con la condición $$||\vec{PR}||=||\vec{QR}||$$ para que esa idea condujera a la solución deseada, ¿cierto?

Muchas gracias por tu ayuda. Saludos.

26 Diciembre, 2020, 07:43 pm
Respuesta #3

delmar

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Sí, la condición que propones \( \vec{QR}\cdot{\vec{PR}}=0 \)  la cumplen los puntos de la circunferencia cuyo diamétro es \( QP \) y los puntos que cumplen ambas condiciones (intersección de la mediatriz con la circunferencia) constituyen los vértices faltantes.

Saludos

Feliz Navidad a todos

26 Diciembre, 2020, 07:44 pm
Respuesta #4

w a y s

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26 Diciembre, 2020, 08:53 pm
Respuesta #5

sugata

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Has calculado el lado, pero no lo has usado.
\( ||PR||=||QR||=\sqrt[ ]{17} \)
Creo que de esta forma también te saldría.