Autor Tema: Recta tangente en espacios proyectivos

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25 Diciembre, 2020, 08:45 pm
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Julio_fmat

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Sea \( C_{\lambda}:=V(P_{\lambda})\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) con \( \lambda \in \mathbb{C} \), una familia de cubicas definidas por \( P_{\lambda}:=P_\lambda (x,y,z)=y^2z-\lambda x^2(x-z) \). Sea \( \lambda=1. \) Hallar la recta tangente \( T_p C_1\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) donde \( p=(0:0:1)\in C_1 \), y decir que tipo de punto es \( p \) para la curva \( C_1. \)

"Haz de las Matemáticas tu pasión".

25 Diciembre, 2020, 11:49 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( C_1:=V(P_1)\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) con \( 1\in \mathbb{C} \), una familia de cubicas definidas por \( P_1:=P_1 (x,y,z)=y^2z-x^2(x-z) \). Hallar la recta tangente \( T_p C_1\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) donde \( p=(0:0:1)\in C_1 \), y decir que tipo de punto es \( p \) para la curva \( C_1. \)

Sospecho que el enunciado no es exactamente así. Donde has puesto el subíndice \( 1 \), quizá querías poner una letra, que en algún momento del ejercicio puede que te manden particularizarlo al valor \( 1 \).

Tal como está no tienes una familia de cúbicas, sino una sola cúbica. Así que, revisa el enunciado.

En general debes de leer de manera comprensiva y con espíritu crítico los enunciados que planteas. Me da la sensación que serías capaz de poner: "Viajamos en un avión; cuando se encuentra bajo el mar, extiende el periscopio y...", sin hacer notar que ahí hay algo raro.

Por otra parte y una vez que subsanes el enunciado, parece suficiente para cualquier versión del mismo tener en cuenta que en  \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) dada una curva definida por \( p(x,y,z)=0 \), la recta tangente en un punto \( P=(a:b:c) \) de la misma viene dado por:

\( \dfrac{\partial p}{\partial x}(P)(x-a)+\dfrac{\partial p}{\partial y}(P)(y-b)+\dfrac{\partial p}{\partial z}(P)(z-c)=0 \)

Saludos.

27 Diciembre, 2020, 11:11 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Hola

Sea \( C_1:=V(P_1)\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) con \( 1\in \mathbb{C} \), una familia de cubicas definidas por \( P_1:=P_1 (x,y,z)=y^2z-x^2(x-z) \). Hallar la recta tangente \( T_p C_1\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) donde \( p=(0:0:1)\in C_1 \), y decir que tipo de punto es \( p \) para la curva \( C_1. \)

Sospecho que el enunciado no es exactamente así. Donde has puesto el subíndice \( 1 \), quizá querías poner una letra, que en algún momento del ejercicio puede que te manden particularizarlo al valor \( 1 \).

Tal como está no tienes una familia de cúbicas, sino una sola cúbica. Así que, revisa el enunciado.

En general debes de leer de manera comprensiva y con espíritu crítico los enunciados que planteas. Me da la sensación que serías capaz de poner: "Viajamos en un avión; cuando se encuentra bajo el mar, extiende el periscopio y...", sin hacer notar que ahí hay algo raro.

Por otra parte y una vez que subsanes el enunciado, parece suficiente para cualquier versión del mismo tener en cuenta que en  \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) dada una curva definida por \( p(x,y,z)=0 \), la recta tangente en un punto \( P=(a:b:c) \) de la misma viene dado por:

\( \dfrac{\partial p}{\partial x}(P)(x-a)+\dfrac{\partial p}{\partial y}(P)(y-b)+\dfrac{\partial p}{\partial z}(P)(z-c)=0 \)

Saludos.

Hola el_manco, si tienes razón, lo escribí mal, pero es para \( \lambda=1. \) Resolviendo tenemos que

\( \dfrac{\partial P_1}{\partial x}(x,y,z)=-3x^2+2xz \)

\( \dfrac{\partial P_1}{\partial y}(x,y,z)=2yz \)

\( \dfrac{\partial P_1}{\partial z}(x,y,z)=y^2+x^2 \)

Ahora,  \( \begin{pmatrix}{\dfrac{\partial P_1}{\partial x}(x,y,z)}&{\dfrac{\partial P_1}{\partial y}(x,y,z)}&{\dfrac{\partial P_1}{\partial z}(x,y,z)}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}=0 \)

Evaluando en \( p=(x:y:z)=(0:0:1) \), tenemos que

\( \begin{pmatrix}{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}=0\implies z=0. \)

¿Esta bien?

¿Y en este caso qué tipo de punto es para la curva \( C_1 \)? Singular, parabólico, elíptico??
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

28 Diciembre, 2020, 12:23 am
Respuesta #3

Julio_fmat

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Me equivoque en un calculo. Lo voy a corregir.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

28 Diciembre, 2020, 01:13 am
Respuesta #4

Julio_fmat

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Hola, acabo de arreglar el error, pero me queda una cubica, no se si esta bien...

\( -3x^3+3x^2z+3y^2z-y^2-x^2=0 \)

¿Es esto una recta tangente?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

28 Diciembre, 2020, 09:44 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Hola, acabo de arreglar el error, pero me queda una cubica, no se si esta bien...

\( -3x^3+3x^2z+3y^2z-y^2-x^2=0 \)

¿Es esto una recta tangente?

No, no es una recta. Una recta está definida por una ecuación lineal, es decir, de grado uno. No por una ecuación de grado tres.

Una vez que calculas las parciales si las evalúas en el punto \( (0,0,1) \); verás que TODAS son nulas.

Eso quiere decir que el punto dado es singular y  tiene varias tangentes (o incluso infinitas, dependiendo de la definición de tangente que se esté usando).

Si hacemos la realización afín de la curva tomando \( z=1 \) te queda:

\( y^2+x^2-x^3=0 \)

\( (y+ix)(y-ix)-x^3=0 \)

y por tanto el el origen la dos tangentes (una por cada rama de la curva) en el punto doble \( (0,0) \) son \( y+ix \) e \( y-ix \).

Saludos.

28 Diciembre, 2020, 08:27 pm
Respuesta #6

Julio_fmat

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Hola

Hola, acabo de arreglar el error, pero me queda una cubica, no se si esta bien...

\( -3x^3+3x^2z+3y^2z-y^2-x^2=0 \)

¿Es esto una recta tangente?

No, no es una recta. Una recta está definida por una ecuación lineal, es decir, de grado uno. No por una ecuación de grado tres.

Una vez que calculas las parciales si las evalúas en el punto \( (0,0,1) \); verás que TODAS son nulas.

Eso quiere decir que el punto dado es singular y  tiene varias tangentes (o incluso infinitas, dependiendo de la definición de tangente que se esté usando).

Si hacemos la realización afín de la curva tomando \( z=1 \) te queda:

\( y^2+x^2-x^3=0 \)

\( (y+ix)(y-ix)-x^3=0 \)

y por tanto el el origen la dos tangentes (una por cada rama de la curva) en el punto doble \( (0,0) \) son \( y+ix \) e \( y-ix \).

Saludos.

Muchas Gracias el_manco, me queda claro ahora. El punto \( p:=(0:0:1) \) es singular, y las rectas tangentes son \( \ell_1: y+ix=0 \) y \( \ell_2: y-ix=0 \).

Aunque me surge una duda, ¿qué es lo que pasa con el termino cubico \( x^3 \)? Pareciera que podemos hacer \( Q(x,y)=(y+ix)(y-ix) \) y digamos "eliminar" el termino cúbico...
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28 Diciembre, 2020, 08:32 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Aunque me surge una duda, ¿qué es lo que pasa con el termino cubico \( x^3 \)? Pareciera que podemos hacer \( Q(x,y)=(y+ix)(y-ix) \) y digamos "eliminar" el termino cúbico...

No sé la teoría que conoces sobre el tema. Las rectas tangente en un punto vienen determinadas por los factores lineales de los sumandos de menos grado del polinomio que define la curva centrado en ese punto.

Saludos.

12 Enero, 2021, 01:34 am
Respuesta #8

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Hola

Aunque me surge una duda, ¿qué es lo que pasa con el termino cubico \( x^3 \)? Pareciera que podemos hacer \( Q(x,y)=(y+ix)(y-ix) \) y digamos "eliminar" el termino cúbico...

No sé la teoría que conoces sobre el tema. Las rectas tangente en un punto vienen determinadas por los factores lineales de los sumandos de menos grado del polinomio que define la curva centrado en ese punto.

Saludos.

Gracias el_manco, me queda claro. Pero si hacemos \( \hat{C_{\lambda}}:=C_{\lambda}\cap U_2:\, y^2-\lambda x^2(x-1)=0 \). Sea \( F(x,y)=y^2+\lambda x^2-\lambda x^3=(y-0)^2+\lambda (x-0)^2-\lambda (x-0)^3 \). Luego, \( y^2+\lambda x^2=0 \), lo que equivale a \( (y-\sqrt{-\lambda}x)(y+\sqrt{-\lambda}x)=0. \) Luego, las rectas tangentes son \( \ell_1: y-\sqrt{-\lambda}x=0 \) y \( \ell_2: y+\sqrt{-\lambda}x=0 \).

¿Esta bien??
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12 Enero, 2021, 09:02 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Gracias el_manco, me queda claro. Pero si hacemos \( \hat{C_{\lambda}}:=C_{\lambda}\cap U_2:\, y^2-\lambda x^2(x-1)=0 \). Sea \( F(x,y)=y^2+\lambda x^2-\lambda x^3=(y-0)^2+\lambda (x-0)^2-\lambda (x-0)^3 \). Luego, \( y^2+\lambda x^2=0 \), lo que equivale a \( (y-\sqrt{-\lambda}x)(y+\sqrt{-\lambda}x)=0. \) Luego, las rectas tangentes son \( \ell_1: y-\sqrt{-\lambda}x=0 \) y \( \ell_2: y+\sqrt{-\lambda}x=0 \).

¿Esta bien??

Si. Es la generalización de lo que hicimos antes para \( \lambda=1 \).

Saludos.