Autor Tema: Transformación isométrica de un objeto 3D en otro sistema de coordenada.

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25 Diciembre, 2020, 02:52 pm
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Ainor

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Hola, necesito me ayuden o me den alguna idea sobre como resolver el siguiente problema.






Tengo dos figuras en el espacio 3D la \( figura_1 \) y la \( figura_2 \) (Adjunto las imágenes). Cada una esta representada en un sistema de coordenadas cartesiano diferente y tienen estas características.
La \( figura_1 \) está formada por 5 caras \(  (A, B, C, D, E)  \), la recta \(  P_1P_2  \) y el plano \( F \) que divide a la cara \(  C, B \) y \( A \) a la mitad. Conozco tres puntos del plano \( F \), tres puntos de cada cara \( (A, B, C, D, E) \) y los puntos \( P_1 \) y \( P_2 \).
De la \( figura_2 \) conozco los puntos \( (K, M, N, R, L) \) y la recta \( KL \) es perpendicular a la recta \( MN \) en \( L \)

El problema consiste en mapear la \( figura_1 \) al sistema de coordenadas de la \( figura_2 \) de tal manera que ambas figuras se unan como se muestra en la imagen de ejemplo con las siguientes restricciones.
La distancia entre la cara \( E (Fig_1) \) y el punto \( R (Fig_2) \) sea de 1 unidad
La recta \( P_1P_2 (Fig_1) \) sea paralela a la recta \( MN (Fig_2) \).
La recta \( KL (Fig_2) \) sea normal a la cara \( C (Fig_1) \) y pertenezca al plano \( F (Fig_1) \) que divide la cara \( C \) en la mitad.
El punto \( Z (Fig_2) \) pertenezca a la cara \( B (Fig_1) \).
Alguien tiene alguna idea de como lograr esta transformación, o como buscar la matriz de transformación. La transformación es una transformación isométrica y se mantienen los mismos ángulos y dimensiones entres las caras.
Si creen es imposible de lograr la transformación con esos datos me podrían decir que otro dato haría falta para lograrlo.



26 Diciembre, 2020, 12:09 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Toma \( \vec u_1 \) un vector de norma \( 1 \) director de la recta \( P_1P_2 \) y un vector \( \vec v_1 \) de norma \( 1 \) uno director de \( MN \).

 Toma \( \vec u_2 \) un vector de norma \( 1 \) normal a la cara \( C \) y un vector \( \vec v_2 \) de norma \( 1 \) director de \( KL \).

 Toma \( \vec u_3=\vec u_1\times \vec u_2 \) y \( \vec v_3=\vec v_1\times \vec v_2. \)

 Con eso ya tienes la parte vectorial de la transformación; una matriz \( 3\times 3 \) \( T \) cumpliendo que \( T\vec u_i=\vec v_i \).

 En concreto si llamas \( M \) y \( N \) respectivamente a las matrices cuyas columnas son los \( \vec u_i  \) y \( \vec v_i \) entonces \( T=M^tN \).

 La transformación será de la forma:

\(  f(X)=Q+TX \)

 y sólo nos queda por tanto saber el valor del punto \( Q \), es decir, terminar nuestra transformación con una traslación adecuada.

 Para ello hay que usar algún dato más. No llega que \( Z \) pertenezca a la cara \( C \).

 Nos queda el dato de la distancia entre la cara \( E \) y el punto \( R \), pero no me queda claro si conoces algo sobre la cara \( E \) (no lo has dicho en tu exposición).

Saludos.

P.D. Habría que tener cuidado de escoger los vectores unitarios con la orientación adecuada para que las figuras encajen como quieres.

26 Diciembre, 2020, 03:09 am
Respuesta #2

Ainor

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Hola

 Toma \( \vec u_1 \) un vector de norma \( 1 \) director de la recta \( P_1P_2 \) y un vector \( \vec v_1 \) de norma \( 1 \) uno director de \( MN \).

 Toma \( \vec u_2 \) un vector de norma \( 1 \) normal a la cara \( C \) y un vector \( \vec v_2 \) de norma \( 1 \) director de \( KL \).

 Toma \( \vec u_3=\vec u_1\times \vec u_2 \) y \( \vec v_3=\vec v_1\times \vec v_2. \)

 Con eso ya tienes la parte vectorial de la transformación; una matriz \( 3\times 3 \) \( T \) cumpliendo que \( T\vec u_i=\vec v_i \).

 En concreto si llamas \( M \) y \( N \) respectivamente a las matrices cuyas columnas son los \( \vec u_i  \) y \( \vec v_i \) entonces \( T=M^tN \).

 La transformación será de la forma:

\(  f(X)=Q+TX \)

 y sólo nos queda por tanto saber el valor del punto \( Q \), es decir, terminar nuestra transformación con una traslación adecuada.

 Para ello hay que usar algún dato más. No llega que \( Z \) pertenezca a la cara \( C \).

 Nos queda el dato de la distancia entre la cara \( E \) y el punto \( R \), pero no me queda claro si conoces algo sobre la cara \( E \) (no lo has dicho en tu exposición).

Saludos.

P.D. Habría que tener cuidado de escoger los vectores unitarios con la orientación adecuada para que las figuras encajen como quieres.

Muchas gracias por su respuesta y si conozco tres puntos de la cara \( E \) también, había olvidado decirlo en la pregunta y el punto \( Z \) pertenece a la cara \( B \) fue un error de redacción de mi parte. Conociendo entonces esas dos condiciones es posible encontrar \( Q \)? y tengo otra pregunta en caso de que la recta \( KL \) sea perpendicular a la recta \( MN \) habría algún problema debido a que al producto vectorial entre sus vectores directores se haría cero?

26 Diciembre, 2020, 05:20 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Muchas gracias por su respuesta y si conozco tres puntos de la cara \( E \) también, había olvidado decirlo en la pregunta y el punto \( Z \) pertenece a la cara \( B \) fue un error de redacción de mi parte. Conociendo entonces esas dos condiciones es posible encontrar \( Q \)? y tengo otra pregunta en caso de que la recta \( KL \) sea perpendicular a la recta \( MN \) habría algún problema debido a que al producto vectorial entre sus vectores directores se haría cero?

El producto vectorial de dos vectores perpendiculares NO es cero. Creo que lo estás confundiendo con el producto escalar.

Por otro lado el dato de la distancia, equivale a que el punto \( R \) pertenezca al plano \( E' \) paralelo a \( E \) a distancia 1 de éste.

Entonces tenemos dos condiciones de que un punto pertenezca a un plano: \( Z \) a la cara \( B \) y \( R \) al plano \( E' \); cada una de ellas impone una ecuación más, pero el punto \( Q \) tiene tres incógnitas: falta un dato más.

Saludos.

27 Diciembre, 2020, 06:58 am
Respuesta #4

Ainor

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