Autor Tema: Cuádrica proyectiva (ejercicio)

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27 Diciembre, 2020, 05:13 pm
Respuesta #10

Bobby Fischer

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Hola

Concluimos que los hiperplanos $$H$$ y $$H_2$$ son iguales. $$H_2=H \Longleftrightarrow \text{polar}_Q(R_2)=\text{polar}_Q(R)\Longleftrightarrow \text{polar}_Q(\text{polar}_Q(R_2))=\text{polar}_Q(\text{polar}_Q(R))\Longleftrightarrow R_2=R$$. Se deduce que $$R_2=R$$,

No es necesariamente cierto para una cuádrica degenerada, que si dos planos polares de un par de puntos son iguales los dos puntos sean el mismo. En el apartado (c) de este ejercicio tienes un contrajeemplo.

Si desde aquí:

Sin cuentas específicas. Si \( P \) es el punto singular, cumple \( PAP^t=0 \).

 (b) Dado un punto cualquiera \( R\neq P \) de la cuádrica, su plano tangente es \( RAx^t=0 \).

 La recta \( PR \) está parametrizadada por \( x=\alpha P+\beta R \), y es inmediato comprobar que cumple tanto la ecuación de la cuádrica como la ecuación del plano tangente, luego está en la intersección.

 Quieres justificar que el corte del plano con la cuádrica es únicamente esa recta, puedes notar lo siguiente. Si existe otra recta \( r' \) de corte y tienes un punto \( R' \) cualquiera de ella (distinto del común a ambos) verificaría \( R'AR'^t=0 \) y \( RAR'^t=0 \).

 Los puntos de la recta que une \( R' \) con \( R \) son de la forma \( W=\alpha R+\beta R' \) y es inmediato ver que satisfacen la ecuación de la cónica. Entonces todas las rectas que unen \( r' \) con \( PR \) también estarían contenidos en la cuádrica, es decir, la intersección de plano polar y cuádrica sería TODO el plano; lo cual no puede ser.

Okay.

 
Con respecto a la otra afirmación; permíteme que la reformule: Supongamos tener una cuádrica degenerada, y una restricción suya a una v.l.p. Si esta restricción contiene un subconjunto de $$\text{Sing}(Q)$$ y es unión de rectas, entonces todas y cada una de ellas contiene a dicho subconjunto.
Mi intención era una generalización de: tener un cono, su conjunto de puntos singulares es un conjunto unitario, \[\{P\}\].
Si $$H\cap \mathcal{L}(Q)=r\cup s$$, y \(P\in r\cup s\), entonces \(P\in r\cap s\).

La forma de generalizar esto a dimensión $$n$$ sería: Supongamos estar en $$\mathbb{P}^n(\mathbb{K})$$ y tener una cuádrica degenerada y una restricción suya que contenga un subconjunto de $$\text{Sing}(Q)$$. Si dicha restricción es unión de v.l.p.p. de dimensión $$n-2$$, entonces dicho subconjunto de $$\text{Sing}(Q)$$ está contenido en todas y cada una de ellas. Es decir, que podríamos afirmar que $$\begin{cases}\mathcal{L}(Q)\cap H=\textstyle\bigcup_{i=1}^n h_i \\ \text{Sing}(Q)\subset \mathcal{L}(Q)\cap H\end{cases}\Longrightarrow \text{Sing}(Q)\subset h_i,~\forall i \in \{1,\ldots, n\}$$
($$H$$ no tendría que ser necesariamente un hiperplano)

 
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27 Diciembre, 2020, 06:25 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Con respecto a la otra afirmación; permíteme que la reformule: Supongamos tener una cuádrica degenerada, y una restricción suya a una v.l.p. Si esta restricción contiene un subconjunto de $$\text{Sing}(Q)$$ y es unión de rectas, entonces todas y cada una de ellas contiene a dicho subconjunto.
Mi intención era una generalización de: tener un cono, su conjunto de puntos singulares es un conjunto unitario, \[\{P\}\].
Si $$H\cap \mathcal{L}(Q)=r\cup s$$, y \(P\in r\cup s\), entonces \(P\in r\cap s\).

La forma de generalizar esto a dimensión $$n$$ sería: Supongamos estar en $$\mathbb{P}^n(\mathbb{K})$$ y tener una cuádrica degenerada y una restricción suya que contenga un subconjunto de $$\text{Sing}(Q)$$. Si dicha restricción es unión de v.l.p.p. de dimensión $$n-2$$, entonces dicho subconjunto de $$\text{Sing}(Q)$$ está contenido en todas y cada una de ellas. Es decir, que podríamos afirmar que $$\begin{cases}\mathcal{L}(Q)\cap H=\textstyle\bigcup_{i=1}^n h_i \\ \text{Sing}(Q)\subset \mathcal{L}(Q)\cap H\end{cases}\Longrightarrow \text{Sing}(Q)\subset h_i,~\forall i \in \{1,\ldots, n\}$$
($$H$$ no tendría que ser necesariamente un hiperplano)

Si. Aunque donde pones \( Sing(Q) \) en realidad te refieres a un subconjunto de \( Sing(Q) \), según has dicho antes.

En general se cumples:

1) Si \( Q \) es una (hiper)cuádrica en \( \Bbb P^n(\Bbb K) \) entonces \( sing(Q)\cap H\subset sing(Q\cap H) \).

2) Si \( Q\cap H \) degenera en dos variedades distintas \( H_1,H_2 \) de codimensión \( 2 \) entonces \( sing(Q)\cap H\subset sing(Q\cap H)=H_1\cap H_2 \).

Saludos.