Autor Tema: Cuádrica proyectiva (ejercicio)

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21 Diciembre, 2020, 10:00 pm
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Bobby Fischer

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Hola,

Se considera en $$\mathbb{P}^3(\mathbb{R})$$ la cuádrica $$Q$$ de ecuación $$xAx^t=0$$ respecto de un sistema de referencia, con

$$A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & -1 & -1\\ -1 & 1 & -1 & 0\end{bmatrix}$$

Se pide:

a) Clasificar $$Q$$ y hallar $$\text{Sing}(Q)$$.

a)
$$\text{rango}(A)=3$$. $$\det(A-\lambda I)=\lambda(\lambda^3-5\lambda+3)$$. Estamos en $$\text{sp}(Q)=3$$ ó $$\text{sp}(Q)=1$$. $$\text{Sing}(Q)=\{P\}=(0:1:1:-1)$$. Además, se comprueba que $$P_1=(1:0:0:0)\in \mathcal{L}(Q)$$, por lo que la cuádrica es un cono proyectivo real.
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b) Probar que todo punto de $$\mathcal{L}(Q)\setminus \text{Sing}(Q)$$ es parabólico, i.e. su plano tangente corta a $$\mathcal{L}(Q)$$ en una cónica de rango y signatura proyectiva $$1$$.

b)
Para todo punto del lugar no veo cómo. Sin embargo, para $$P_1=(1:0:0:0)$$ he comprobado que $$\text{polar}_Q(P_1)\color{green}{\cap \mathcal{L}(Q)}\color{black}\equiv \begin{cases}(x_1+x_3)^2=0\\ x_2=-x_3\end{cases}$$, que es una recta que pasa por el punto singular y efectivamente es una cónica de rango $$1$$.
[cerrar]

c) Sea $$r$$ la recta de ecuaciones $$x_1+x_3=0,\, x_0-x_1+x_2=0$$. Probar que los planos polares de todos sus puntos (salvo uno) coinciden. Calcular este plano común.

c)
Esto es fácil. El plano es $$x_0=0$$, usando que $$\text{polar}_Q(\textstyle\sum Z_i)=\bigcap \text{polar}_QZ_i $$
[cerrar]

d) Probar que toda recta que pase por el punto singular verifica lo anterior.

d)
Lo mismo que en b). "Para todo" no veo cómo.
[cerrar]

e) Sea $$s$$ la recta definida por $$x_1+x_3=x_0-x_1+x_3=0$$. Probar que los planos polares de sus puntos son todos distintos, y pasan por una recta que contiene a un punto singular. Calcular esta recta.

e)
Esto es fácil. La recta es $$\begin{cases} x_0+x_2+x_3=0\\ -x_0+x_2+x_3=0\end{cases}$$. Además, suponer que dos puntos distintos entre sí (y distintos del singular) tienen el mismo hiperplano tangente implica $$\text{polar}_Q(R_1)=\text{polar}_Q(R_2)$$ y esto implica $$R_1=\text{polar}_Q(\text{polar}_Q(R_1))=\text{polar}_Q(\text{polar}_Q(R_2))=R_2$$.
[cerrar]

f) Probar que toda recta que no pase por un punto singular verifica lo anterior.

f)
$$\color{blue}{\ldots}$$
[cerrar]

g) Probar que el plano polar obtenido en el apartado c) es el determinado por las rectas de contacto de los planos tangentes a $$Q$$ que pasan por $$r$$.

g)
$$r=\begin{cases}x_1+x_3=0\\x_0-x_1+x_2=0\end{cases}$$ Por tanto el haz de planos que contiene a $$r$$ es $$H_{(\alpha:\beta)}: \alpha(x_1+x_3)+\beta(x_0-x_1+x_2)=0$$ con $$(\alpha:\beta)\in \mathbb{P}^1(\mathbb{R})\ldots$$ pero no veo fácil probarlo.
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22 Diciembre, 2020, 07:05 pm
Respuesta #1

mg

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Hola,

Quería comentarte una cosa que a lo mejor te ayuda, aunque no tengo certeza de que se pueda trabajar con esa matriz. Como con el apartado a) ya has clasificado la cuádrica, entonces combinando un resultado de la geometría que dice que "Sea \( f\in{}BS(V) \). Entonces existe una base \( B \) en \( V \) tal que la matriz \( M_B(f) \) es diagonal" (con \( BS(V) \) el espacio proyectivo de las formas bilineales simétricas sobre un espacio vectorial \( V \)) junto con la "Ley de inercia de Sylvester", podríamos decir que existe una base \( B \) tal que la matriz de la cuádrica es:

\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{-1}&{0}\\{0}&{}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)

Trabajando en esta matriz será más fácil realizar los cálculos.

Le estado dando algunas vueltas y tampoco llego a nada en concreto, pero será porque justo estoy aprendiendo este tema , este año. Espero que te ayude! Si lo sacas publícalo. Por cierto, como sacas la ecuación \( (x_1+x_3)^2=0 \) de la polar?

Un saludo

22 Diciembre, 2020, 07:46 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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Hola,

Es $$\text{polar}_Q(P_1)\color{green}{\cap \mathcal{L}(Q)}$$. Gracias, ya lo he corregido.

Respecto a los cálculos, sí, lo empecé así y es cierto que se simplificarían. Te doy mi opinión: el ejercicio pide ecuaciones de cosas concretas. Y aunque es cierto que no dice explícitamente que las quiere en un sistema de referencia determinado, se sobreentiende que las quiere en ése. Como poder darlas se pueden dar... Pero mira este ejemplo: tu cliente tiene una cámara. Quiere que calcules algo en el sistema de referencia de la cámara. Si yo calculo (por simplificar los cálculos) las cosas en un cierto sistema de referencia, o luego los paso al sistema de referencia de la cámara o nada. Yo al cliente no le puedo decir que "en un cierto sistema de referencia, da esto". El cliente quiere el resultado, no que "en cierto sistema de referencia..."

22 Diciembre, 2020, 08:02 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Respecto a los cálculos, sí, lo empecé así y es cierto que se simplificarían. Te doy mi opinión: el ejercicio pide ecuaciones de cosas concretas. Y aunque es cierto que no dice explícitamente que las quiere en un sistema de referencia determinado, se sobreentiende que las quiere en ése. Como poder darlas se pueden dar... Pero mira este ejemplo: tu cliente tiene una cámara. Quiere que calcules algo en el sistema de referencia de la cámara. Si yo calculo (por simplificar los cálculos) las cosas en un cierto sistema de referencia, o luego los paso al sistema de referencia de la cámara o nada. Yo al cliente no le puedo decir que "en un cierto sistema de referencia, da esto". El cliente quiere el resultado, no que "en cierto sistema de referencia..."

No estoy de acuerdo. La "gracia" de las ecuaciones canónicas es que permiten estudiar cualquier propiedad de la cuádrica pero una referencia donde las cuentas son más sencillas.

No es cierto que el ejercicio te pida dar ecuaciones en ningún sistema de referencia concreto en varios apartados. En todos aquellos en que te pide probar cosas para puntos generales lo más razonable (y es 100% riguroso) es trabajar sobre la forma canónica.

Es más, en todo caso si uno se molesta en hallar las ecuaciones de cambio de referencia la traducción de cualquier resultado sobre la forma canónica a la referencia de partida es inmediata.

Saludos.

22 Diciembre, 2020, 08:27 pm
Respuesta #4

Bobby Fischer

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En tal caso tendría que cambiar de sistema de referencia las rectas de c) y e). No sólo eso sino que cuando me piden otro plano y recta, tengo el deber de pasarlos al sistema de referencia de partida.
Es cierto que por un lado simplificaría el hecho de que para clasificar la cuádrica no tendría que calcular determinantes, pero no sé si en un examen me atrevería a hacerlo. Conlleva algunos riesgos, y no sé si la ganancia es tan grande. Aunque veo la utilidad y probablemente lo haga así; entre otras cosas porque me acordaré de esta conversación.

Saludos.

24 Diciembre, 2020, 09:54 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 Sin cuentas específicas. Si \( P \) es el punto singular, cumple \( PAP^t=0 \).

 (b) Dado un punto cualquiera \( R\neq P \) de la cuádrica, su plano tangente es \( RAx^t=0 \).

 La recta \( PR \) está parametrizadada por \( x=\alpha P+\beta R \), y es inmediato comprobar que cumple tanto la ecuación de la cuádrica como la ecuación del plano tangente, luego está en la intersección.

 (d) Una recta que pasa por el punto singular tiene como ecuación paramétrica \( x=\alpha P+\beta R \). Su recta polar es:

\( (\alpha P+\beta R)Ax^t=0\quad \Leftrightarrow{}\quad \alpha PAx^t+\beta RAx^t=0\quad \Leftrightarrow{}\quad \beta RAx^t=0\quad \Leftrightarrow{}\quad RAx^t=0 \)

es decir el plano polar es el mismo para todos los puntos de la recta.

 (f) Una recta que pasa por un punto cualquiera tiene como ecuación paramétrica \( x=\alpha R+\beta R' \). El plano polar de cualquiera de esos puntos es:

\( \alpha RAx^t+\beta R'Ax^t=0 \)

 Es un haz de planos: o bien son coincidentes o bien se cortan en una recta. Si son coincidentes se cumple \( (\alpha R-\beta R')A=0 \) para ciertos valores de \( \alpha,\beta \), es decir, \( \alpha R-\beta R' \) sería en punto singular y la recta original pasaría por él.

 Por otra parte de la definición de punto singular es inmediato que pertenece a cualquier plano polar.

Saludos.

24 Diciembre, 2020, 01:17 pm
Respuesta #6

Bobby Fischer

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Hola Luis, muchas gracias.

Para el apartado b), ¿cómo puede saberse que la recta que has construido es la mayor variedad lineal proyectiva contenida en la intersección?
¿Suponer que dicha intersección es de rango estrictamente mayor que 1 y llegar a un absurdo? La cuádrica es reglada... Pero no veo cómo. Vale, ya veo. Lo escribo.

Suponer que dicha intersección tiene dimensión 2 o mayor implica que $$H$$ corta a $$Q$$, por lo menos, en dos rectas distintas (por ser $$Q$$ reglada?). $$H$$ es tangente a $$Q$$, y a $$H$$ contiene a la recta. Entonces $$H$$ está contenido en la polar de la recta. Y de la otra.
$$H\subset \text{polar}_Q(r_1)$$
$$H\subset \text{polar}_Q(r_2)$$
Entonces H está contenido en la intersección.
$$H \subset \text{polar}_Q(r_1)\cap \text{polar}_Q(r_2)=\text{polar}(r_1+r_2)$$
Como $$r_1+r_2\supset R_1+R_2$$ ($$R_1,R_2$$ puntos de ambas rectas distintos entre sí y distintos del singular), entonces $$\text{polar}(r_1+r_2)\subset \text{polar}(R_1+R_2)=\text{polar}_Q(R_1)\cap \text{polar}_Q{R_2}=H_1\cap H_2$$. Pero si $$R_1$$ es distinto de $$R_2$$, entonces $$H_1\neq H_2$$ y $$H_1, H_2$$ se cortan en una recta. Estaríamos diciendo que $$H\subset H_1\cap H_2$$, siendo $$H_1\cap H_2$$ una recta. Esto es un absurdo porque $$H$$ es un plano. Así que la dimensión de la intersección es estrictamente menor que 2. Además, hemos visto que es mayor o igual que 1. Así que es 1. Concluimos que la intersección no sólo contiene una recta sino que es la recta.


   
El apartado g) me parece una perogrullada.
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24 Diciembre, 2020, 06:28 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Suponer que dicha intersección tiene dimensión 2 o mayor implica que $$H$$ corta a $$Q$$, por lo menos, en dos rectas distintas (por ser $$Q$$ reglada?). $$H$$ es tangente a $$Q$$, y a $$H$$ contiene a la recta. Entonces $$H$$ está contenido en la polar de la recta. Y de la otra.

Un plano siempre corta a una cuádrica en una cónica. Si la cónica contiene una recta, o es una recta doble o son dos rectas.

Saludos.

25 Diciembre, 2020, 01:17 am
Respuesta #8

Bobby Fischer

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Hola,

Hay un non sequitur en lo rojo; mi demostración no estaba bien hecha.

Hola Luis, muchas gracias.

Para el apartado b), ¿cómo puede saberse que la recta que has construido es la mayor variedad lineal proyectiva contenida en la intersección?
¿Suponer que dicha intersección es de rango estrictamente mayor que 1 y llegar a un absurdo? La cuádrica es reglada... Pero no veo cómo. Vale, ya veo. Lo escribo.

Suponer que dicha intersección tiene dimensión 2 o mayor implica que $$H$$ corta a $$Q$$, por lo menos, en dos rectas distintas (por ser $$Q$$ reglada?). $$H$$ es tangente a $$Q$$, y a $$H$$ contiene a la recta. Entonces $$H$$ está contenido en la polar de la recta. Y de la otra.
$$H\subset \text{polar}_Q(r_1)$$
$$H\subset \text{polar}_Q(r_2)$$

Entonces H está contenido en la intersección.
$$H \subset \text{polar}_Q(r_1)\cap \text{polar}_Q(r_2)=\text{polar}(r_1+r_2)$$
Como $$r_1+r_2\supset R_1+R_2$$ ($$R_1,R_2$$ puntos de ambas rectas distintos entre sí y distintos del singular), entonces $$\text{polar}(r_1+r_2)\subset \text{polar}(R_1+R_2)=\text{polar}_Q(R_1)\cap \text{polar}_Q{R_2}=H_1\cap H_2$$. Pero si $$R_1$$ es distinto de $$R_2$$, entonces $$H_1\neq H_2$$ y $$H_1, H_2$$ se cortan en una recta. Estaríamos diciendo que $$H\subset H_1\cap H_2$$, siendo $$H_1\cap H_2$$ una recta. Esto es un absurdo porque $$H$$ es un plano. Así que la dimensión de la intersección es estrictamente menor que 2. Además, hemos visto que es mayor o igual que 1. Así que es 1. Concluimos que la intersección no sólo contiene una recta sino que es la recta.


   
El apartado g) me parece una perogrullada.
[cerrar]

El tema es casi trivial, pero esta vez casi lo demuestro bien:

Sea $$R\in \mathcal{L}(Q)\setminus \text{Sing}(Q)$$. Supongamos que $$H=\text{polar}_Q(R)\cap \mathcal{L}(Q)=r_1\cup r_2$$. Es decir, supongamos que $$H=\text{polar}_Q(R)$$ corta a $$\mathcal{L}(Q)$$ en dos rectas (distintas). Una de ellas debe ser la de Luis. Llamemos a ésta $$r_1$$. $$r_1$$ está formada por los puntos $$R$$ y $$P=\text{Sing}(Q)$$. Tenemos que existe un punto $$R_2$$ de $$r_2\setminus r_1$$ tal que $$R_2\in \mathcal{L}(Q)$$ y $$R_2\in H=\text{polar}_Q(R)$$. Sea $$\text{polar}_Q(R_2)=H_2$$; por ser $$R_2$$ no singular para $$Q$$, su polar es un hiperplano, $$H_2$$. $$R_2$$ está en las mismas condiciones que $$R_1$$, es decir, que $$H_2=\text{polar}_Q(R_2)\cap \mathcal{L}(Q)=r_1\cup r'$$. $$r_1$$ es la recta de Luis. ¿Es $$r'=r_2$$? Como $$R_2\notin r_1$$, entonces $$R_2\in r'$$ (pues a alguna de las dos debe pertenecer; si no está en una, está en la otra). Yo afirmo (no está probado) que $$P\in r_2$$, lo que supone además que $$P\in r'$$. Esta suposición tiene su base, no es descabellada. Tenemos entonces dos rectas, $$r_2$$ y $$r'$$, que vienen dadas por los mismos puntos ($$R_2$$ y $$P$$); entonces son iguales. Por tanto: $$H=\text{polar}_Q(R_1)\cap \mathcal{L}(Q)=r_1\cup r_2=\mathcal{L}(Q)\cap \text{polar}_Q(R_2)=H_2$$. Concluimos que los hiperplanos $$H$$ y $$H_2$$ son iguales. $$H_2=H \Longleftrightarrow \text{polar}_Q(R_2)=\text{polar}_Q(R)\Longleftrightarrow \text{polar}_Q(\text{polar}_Q(R_2))=\text{polar}_Q(\text{polar}_Q(R))\Longleftrightarrow R_2=R$$. Se deduce que $$R_2=R$$, y de aquí que $$R_2 \in r_1$$. Pero esto es absurdo, porque por hipótesis $$R_2\in r_2\setminus r_1$$. Entonces $$H=\text{polar}_Q(R)\cap \mathcal{L}(Q)$$ no puede ser un par de rectas. Como un plano siempre corta a una cuádrica en una cónica, y si la cónica contiene una recta, o es una recta doble o son dos rectas, por dicotomía se deduce que $$(\forall R \in \mathcal{L}(Q)\setminus \text{Sing}(Q))~\text{polar}_Q(R)\cap \mathcal{L}(Q)=\{P\}+\{R\}$$, con $$\{P\}=\text{Sing}(Q)$$. $$\blacksquare$$

Gracias Luis.

Añadido:
Supongamos tener un cono proyectivo real, y un plano que pasa por su punto singular. Entonces yo afirmo que, si la cónica resultante de cortar el cono con el plano es la unión de dos rectas, el punto singular pertenece a cada una de ellas. ¿Puede asegurarse (de manera más general) que cualquier restricción reglada de una cuádrica degenerada contiene a $$\text{Sing}(Q)$$? Si esto es cierto, veamos qué ocurre si $$H=\text{polar}_Q(R)\cap \mathcal{L}(Q)=r_1\cup r_2$$ con $$R\neq P=\text{Sing}(Q)$$, $$r_1$$ la recta de Luis, definida por los puntos $$R$$ y $$P$$, y $$r_2$$ una recta distinta de $$r_1$$; sabemos que $$P$$ pertenece tanto a $$r_1$$ como a $$r_2$$. Al mismo tiempo, $$R$$ es singular para la cónica resultante de restringir $$Q$$ a $$H$$. ($$\text{Sing}(Q|_H)=\text{polar}_Q(H)\cap H=R\cap H=R$$) ¡$$R$$ es singular para $$r_1\cup r_2$$! Es decir, que $$R\in r_1$$ y $$R\in r_2$$. Por consiguiente tenemos $$r_1=\left<P,R\right>=r_2$$, esto es, $$r_1$$ y $$r_2$$ son iguales, en contra de la hipótesis. Entonces $$(\forall R\in \mathcal{L}(Q)\setminus \text{Sing}(Q))~H=\text{polar}_Q(R)\cap \mathcal{L}(Q)=\{P\}+\{R\}.$$ Una sola recta. $$\blacksquare$$

27 Diciembre, 2020, 10:36 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Concluimos que los hiperplanos $$H$$ y $$H_2$$ son iguales. $$H_2=H \Longleftrightarrow \text{polar}_Q(R_2)=\text{polar}_Q(R)\Longleftrightarrow \text{polar}_Q(\text{polar}_Q(R_2))=\text{polar}_Q(\text{polar}_Q(R))\Longleftrightarrow R_2=R$$. Se deduce que $$R_2=R$$,

No es necesariamente cierto para una cuádrica degenerada, que si dos planos polares de un par de puntos son iguales los dos puntos sean el mismo. En el apartado (c) de este ejercicio tienes un contrajeemplo.

Si desde aquí:

Sin cuentas específicas. Si \( P \) es el punto singular, cumple \( PAP^t=0 \).

 (b) Dado un punto cualquiera \( R\neq P \) de la cuádrica, su plano tangente es \( RAx^t=0 \).

 La recta \( PR \) está parametrizadada por \( x=\alpha P+\beta R \), y es inmediato comprobar que cumple tanto la ecuación de la cuádrica como la ecuación del plano tangente, luego está en la intersección.

 Quieres justificar que el corte del plano con la cuádrica es únicamente esa recta, puedes notar lo siguiente. Si existe otra recta \( r' \) de corte y tienes un punto \( R' \) cualquiera de ella (distinto del común a ambos) verificaría \( R'AR'^t=0 \) y \( RAR'^t=0 \).

 Los puntos de la recta que une \( R' \) con \( R \) son de la forma \( W=\alpha R+\beta R' \) y es inmediato ver que satisfacen la ecuación de la cónica. Entonces todas las rectas que unen \( r' \) con \( PR \) también estarían contenidos en la cuádrica, es decir, la intersección de plano polar y cuádrica sería TODO el plano; lo cual no puede ser.

Citar
¿Puede asegurarse (de manera más general) que cualquier restricción reglada de una cuádrica degenerada contiene a $$\text{Sing}(Q)$$?

No estoy seguro de entender la pregunta, en particular el sentido de "restricción reglada"; si por restricción reglada entiendes que el corte de plano y cuádrica sean rectas, diría que la respuesta a tu pregunta es NO.

Por ejemplo dos planos que se cortan en una recta son una cuádrica degenerada cuyo lugar singular es la recta de corte.

Si tomas un plano que no contenga a ese lugar singular corta a la cuádrica en un par de rectas.

Saludos.