Autor Tema: Decir si existe homografia

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20 Diciembre, 2020, 07:09 pm
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Julio_fmat

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Sea \( Q\subset \mathbb{P}_\mathbb{K}^3 \) la cuádrica con ecuación \( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0. \) Sean \( \mathbb{K}=\mathbb{C} \) y \( \prod_{\mu}\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) el plano proyectivo (complejo) en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) dado por \( x_4-\mu x_3=0 \) con \( \mu \in \mathbb{C} \). Sea \( \mathcal{C}_{\mu}:=Q\cap \prod_{\mu}\subset \prod_{\mu}\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \). Decir si existe una homografia \( \omega: \prod_0\to \prod_0 \) tal que \( \omega(\mathcal{C}_0)=\mathcal{C}' \), donde \( \mathcal{C}' \) es la conica en \( \prod_0\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) dada por \( x_1(x_2-x_3)+x_2^2-x_3^2=0. \)
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20 Diciembre, 2020, 08:26 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sean \( \mathbb{K}=\mathbb{C} \) y \( \prod_{\mu}\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) el plano proyectivo (complejo) en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) dado por \( x_4-\mu x_3=0 \) con \( \mu \in \mathbb{C} \). Sea \( \mathcal{C}_{\mu}:=\color{red}Q\color{black}\cap \prod_{\mu}\subset \prod_{\mu}\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \). Decir si existe una homografia \( \omega: \prod_0\to \prod_0 \) tal que \( \omega(\mathcal{C}_0)=\mathcal{C}' \), donde \( \mathcal{C}' \) es la conica en \( \prod_0\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) dada por \( x_1(x_2-x_3)+x_2^2-x_3^2=0. \)

Hablas de una cuádrica \( \color{red}Q\color{black} \) en el enunciado, pero en ningún momento dices cuál es. Por tanto el enunciado está incompleto.

Ya son varios enunciados que pones incompletos; te lo indico: y no respondes nada. Es bastante descortés por tu parte de cara a los que intentamos ayudarte.

Saludos.

28 Diciembre, 2020, 07:57 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Hola

Sean \( \mathbb{K}=\mathbb{C} \) y \( \prod_{\mu}\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) el plano proyectivo (complejo) en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) dado por \( x_4-\mu x_3=0 \) con \( \mu \in \mathbb{C} \). Sea \( \mathcal{C}_{\mu}:=\color{red}Q\color{black}\cap \prod_{\mu}\subset \prod_{\mu}\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \). Decir si existe una homografia \( \omega: \prod_0\to \prod_0 \) tal que \( \omega(\mathcal{C}_0)=\mathcal{C}' \), donde \( \mathcal{C}' \) es la conica en \( \prod_0\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) dada por \( x_1(x_2-x_3)+x_2^2-x_3^2=0. \)

Hablas de una cuádrica \( \color{red}Q\color{black} \) en el enunciado, pero en ningún momento dices cuál es. Por tanto el enunciado está incompleto.

Ya son varios enunciados que pones incompletos; te lo indico: y no respondes nada. Es bastante descortés por tu parte de cara a los que intentamos ayudarte.

Saludos.

Hola Luis, lo acabo de editar, espero que ahora se entienda. ¿Me puedes ayudar ahora?

Con respecto al problema, debo de tener 2 matrices asociadas a las cuadricas y mirar sus signaturas. Si las signaturas son iguales, entonces existe una homografía, y si las signaturas son diferentes, entonces no existe homografía.
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28 Diciembre, 2020, 08:29 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Con respecto al problema, debo de tener 2 matrices asociadas a las cuadricas y mirar sus signaturas. Si las signaturas son iguales, entonces existe una homografía, y si las signaturas son diferentes, entonces no existe homografía.

Dado que trabajas en los complejos es suficiente fijarse en el rango; si tienen el mismo rango existe la homografía en otro caso no.

Teniendo en cuenta eso inténtalo y concreta las dudas.

Saludos.

29 Diciembre, 2020, 02:31 am
Respuesta #4

Julio_fmat

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Hola

Con respecto al problema, debo de tener 2 matrices asociadas a las cuadricas y mirar sus signaturas. Si las signaturas son iguales, entonces existe una homografía, y si las signaturas son diferentes, entonces no existe homografía.

Dado que trabajas en los complejos es suficiente fijarse en el rango; si tienen el mismo rango existe la homografía en otro caso no.

Teniendo en cuenta eso inténtalo y concreta las dudas.

Saludos.

Muchas Gracias Luis, pero tengo una duda. Si la condicion es \( \omega(\mathcal{C}_0)=\mathcal{C}' \). ¿La cuadrica que debo considerar es \( Q \) o \( \mathcal{C}_{\mu} \)?. Si es el primer caso de \( Q \), entonces no existe tal homografia, porque \( \text{ rg } Q=4\ne \text{rg }\mathcal{C}'=2. \)

En el caso de ser \( \mathcal{C}_{\mu} \) la cuadrica, hay que considerar los dos casos del rango, y como \( \text{rg } \mathcal{C}'=2 \), entonces no existe tal homografia, porque puede darse el caso \( \text{rg }\mathcal{C}_{\mu}=3 \) si \( \mu \ne \pm \sqrt{2}. \)

¿Esta bien?
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29 Diciembre, 2020, 10:30 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Muchas Gracias Luis, pero tengo una duda. Si la condicion es \( \omega(\mathcal{C}_0)=\mathcal{C}' \). ¿La cuadrica que debo considerar es \( Q \) o \( \mathcal{C}_{\mu} \)?.

No tienes que considerar ninguna cuádrica. Tienes que considerar una cónica. La cónica C_0 según te indican en el enunciado es la intersección de la cuádrica \( Q \) con el plano \( \prod_0 \) de ecuación \( x_4=0 \).

Saludos.

30 Diciembre, 2020, 01:21 pm
Respuesta #6

Julio_fmat

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Hola

Muchas Gracias Luis, pero tengo una duda. Si la condicion es \( \omega(\mathcal{C}_0)=\mathcal{C}' \). ¿La cuadrica que debo considerar es \( Q \) o \( \mathcal{C}_{\mu} \)?.

No tienes que considerar ninguna cuádrica. Tienes que considerar una cónica. La cónica C_0 según te indican en el enunciado es la intersección de la cuádrica \( Q \) con el plano \( \prod_0 \) de ecuación \( x_4=0 \).

Saludos.

No me queda claro cual es la matriz de \( \mathcal{C}_0 \)....

La matriz asociada a la conica \( \mathcal{C}' \) es \( A'=\begin{bmatrix}{0}&{\frac{1}{2}}&{-\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}}&{1}&{0}\\{-\dfrac{1}{2}}&{0}&{-1}\end{bmatrix} \), que tiene \( \text{rg }A'=2 \).
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31 Diciembre, 2020, 08:22 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

No me queda claro cual es la matriz de \( \mathcal{C}_0 \)....

La matriz asociada a la conica \( \mathcal{C}' \) es \( A'=\begin{bmatrix}{0}&{\frac{1}{2}}&{-\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}}&{1}&{0}\\{-\dfrac{1}{2}}&{0}&{-1}\end{bmatrix} \), que tiene \( \text{rg }A'=2 \).

Pues la cuádrica \( Q \) es:

\( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0. \)

La cónica \( C_0 \) se obtiene intersecándola con el plano \( x_4=0 \). Queda:

\( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-4x_2x_3=0. \)

Su matriz asociada es:

\( \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&-1&-2\\ 0&-2&-2\\\end{pmatrix} \)

Saludos.