Autor Tema: Teorema de la Mariposa

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11 Diciembre, 2020, 11:55 pm
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Agusss

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Hola buenas tardes a todos, me gustaría poder interpretar el siguiente teorema dado que lo quiero presentar para mi instancia final de la materia, si bien comprendo los aspectos generales. Del punto 2 al punto 3, quisiera saber porque empieza de esa forma.
 Entiendo que hasta el punto dos, todas las igualaciones que realizo por semejanza vienen compartiendo una razon de r/s




12 Diciembre, 2020, 01:09 am
Respuesta #1

ciberalfil

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Y qué es lo que no entiendes?

12 Diciembre, 2020, 10:33 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 No acabo de entender tu duda. Aquí tienes la explicación completa (aunque supongo que la has visto):

http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teor_Mariposa.html

 ¿Exactamente qué igualdad no entiendes?.

Saludos.

12 Diciembre, 2020, 11:05 am
Respuesta #3

feriva

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Hola

 No acabo de entender tu duda. Aquí tienes la explicación completa (aunque supongo que la has visto):

http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teor_Mariposa.html

 ¿Exactamente qué igualdad no entiendes?.

Saludos.

Creo que se refiere a que no ve cómo usa \( \angle A=\angle C
  \) y \( \angle B=\angle D
  \) (te lo digo porque yo mismo, sin mirar mucho más, tampoco caigo ahora).

Saludos.

12 Diciembre, 2020, 11:08 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Creo que se refiere a que no ve cómo usa \( \angle A=\angle C
  \) y \( \angle B=\angle D
  \) (te lo digo porque yo mismo, sin mirar mucho más, tampoco caigo ahora).

Lo usa cuando afirma que los triángulos \( ARE \) y \( CSG \) son semejantes; y también \( DRF \) y \( BSH \).

Saludos.

12 Diciembre, 2020, 11:12 am
Respuesta #5

feriva

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Lo usa cuando afirma que los triángulos \( ARE \) y \( CSG \) son semejantes; y también \( DRF \) y \( BSH \).

Saludos.

Ah, ya lo veo. Muchas gracias.

Saludos.

12 Diciembre, 2020, 07:49 pm
Respuesta #6

Agusss

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No, me refiero a porque por ejemplo parte de r cuadrado, siendo q en el punto anterior estaba con las relaciones de semejanza. Digamos todo el punto 3 es lo que me esta costando, dado que empieza la explicación a partir del 4to signo igual,como dice ahi.

13 Diciembre, 2020, 01:14 am
Respuesta #7

Agusss

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Esto es una posible interpretacion y solucion que obtuve, me gustaria saber si el lenguaje esta bien utilizado y algunas cosas que explico son necesarias para mi entender un poco mejor tal teorema.


1)A medida que comenzamos a trazar, podemos deducir que las cuerdas que pasan por M (AB y CD) forman ángulos congruentes por ser Op. Vertice. Luego son cortados por la cuerda PQ determinando dos pares de ángulos congruentes. Estos son:


2)Trazo dos pares de rectas perpendiculares a AB y CD que pasen por X, y pasen por Y.


3) Establecemos que los triangulos son semejantes (El mismo paso al tutorial de geogebra, solo modifico las letras).
4)Multiplicando obtenemos (¿La multiplicación en este caso se da porque voy a intentar buscar una solucion a la demostracion, o se da por alguna propiedad en particular, es decir, porque multiplico estos segmentos?)
\( \frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{X_1.X_2}{Y_1.Y_2}=\frac{AX.XD}{CY.YB} \)
 A partir de este momento podemos establecer una relacion entre la potencia de un punto respecto a una circunferencia y nuestro desarrollo (Seria el punto X por un lado y el punto Y por el otro)
Ayudandome con la definicion de potencia:
\( Pot(X,C)=XA.XD=PX.XQ //
 Pot (Y,C)=YC.YB=YQ.YP \)
Dado que es una igualdad:

\( \frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{X_1.X_2}{Y_1.Y_2}=\frac{AX.XD}{CY.YB}=\frac{PX.XQ}{YQ.YP} \)
6) Por definicion algebraica de potencia (Lo vimos asi en la cursada, no se si tiene otro nombre)
Pot(X,C)= PX.XQ=ZX.Z´X         Donde: XO=d; ZX=r-d;  Z´X=r+d

Bien a partir de aca es donde me pierdo por lo siguiente, adjunto la imagen que representa mejor lo que quiero plantear.

Lo que intente primero es ver de donde salia una de las relaciones trabajadas anteriormente, (la de usar d+r y d-r) al trazar una secante que pase por el centro puedo establecer la relacion de potencia con mi punto x e y respectivamente. Mi problema es el siguiente, si bien los radios son los mismos dado que estamos en la misma circunferencia, las distancias (d) no lo son, o bien,¿ que páso me estoy salteando para determinar que las (d) son las mismas?.
Y por ultimo en el tutorial establece que
\( \frac{d^{2}-r^{2}}{d^{2}-s^{2}} \)
¿Según lo que entiendo de potencia, viene a ser la distancia desde el punto al centro (d) y el radio (r), pero en esto que pone el r y s no serian el radio
Pd: Disculpe si me extiendo en algunos conceptos pero trato de entenderlo para poder aplicarlo. Muchas gracias a todos!

13 Diciembre, 2020, 09:56 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Lo que intente primero es ver de donde salia una de las relaciones trabajadas anteriormente, (la de usar d+r y d-r) al trazar una secante que pase por el centro puedo establecer la relacion de potencia con mi punto x e y respectivamente. Mi problema es el siguiente, si bien los radios son los mismos dado que estamos en la misma circunferencia, las distancias (d) no lo son, o bien,¿ que páso me estoy salteando para determinar que las (d) son las mismas?.
Y por ultimo en el tutorial establece que
\( \frac{d^{2}-r^{2}}{d^{2}-s^{2}} \)
¿Según lo que entiendo de potencia, viene a ser la distancia desde el punto al centro (d) y el radio (r), pero en esto que pone el r y s no serian el radio

Desde el principio se dice que \( d=PM=MQ \) (esos dos segmentos miden lo mismo porque por hipótesis \( M \) es el punto medio de \( PQ \)).

Entonces si te fijas en el punto \( R \), por potencia de un punto tienes que:

\( AR\cdot RD=PR\cdot QR \)

Pero:

\( PR=PM-MR=d-r \)
\( QR=MR+MQ=r+d \)

Lo análogo con el otro punto.

Saludos.

P.D. Creo que en el dibujo de geogebra podrías mover el punto \( A \) para que los triángulos \( ADM \) y \( CMB \) no sean tan parecidos. Creo que despista.

13 Diciembre, 2020, 06:34 pm
Respuesta #9

Agusss

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Pero:

\( PR=PM−MR=d−r \)
\( QR=MR+MQ=r+d \)

Lo análogo con el otro punto.

Entiendo este punto que planteas, pero creo que no logro llevar mas alla el concepto de potencia.
 Si tomo a R como el punto por el cual voy a trabajar la potencia, segun el segmento PQ, ¿como me doy cuenta cual es la d para aplicar potencia. ¿La d siempre se refiere a la distancia entre mi punto y el punto medio del segmento? donde se encuentre en este caso r (dado que es interior). Y en ese caso, cuando trabajo con potencia de un punto aparece r que esta asociado al radio, en este segmento PQ, no tengo un valor de radio.
 Segun tu caso decis que PM-MR=d-r, estas diciendo que MR es radio de la circunferencia?