Autor Tema: Volumen máximo de sección de cuerpo convexo centralmente simétrico

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11 Diciembre, 2020, 03:04 pm
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Eparoh

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Hola a todos, estoy intentando demostrar el siguiente resultado:

Sea \( K \subset \mathbb{R}^n \) un cuerpo convexo centralmente simétrico (compacto, convexo y tal que \( K=-K \)) y \( H_c=\{x \in \mathbb{R}^n: \langle x, u \rangle =c\} \) con \( u \in \mathbb{R}^n \), entonces \( \operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_c) \) es máximo cuando \( c=0 \).

Para intentar demostrarlo he definido \( h(c)=\operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_c) \) y si fuera

\( h(c_1 + c_2)=\operatorname{vol}_{n-1}((K \cap H_{c_1}) + (K \cap H_{c_2})) \hspace{3mm} (1) \)

entonces por la desigualdad de Brunn-Minkowski

\( h(c_1 + c_2)^\frac{1}{n-1} \geq \operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_{c_1})^\frac{1}{n-1} +  \operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_{c_2})^\frac{1}{n-1}=h(c_1)^\frac{1}{n-1} +  h(c_2)^\frac{1}{n-1} \)

Ahora, observemos que

\( x \in K \cap H_{-c} \Leftrightarrow{} x \in K \wedge \langle x, u \rangle = -c \Leftrightarrow{} -x \in K \wedge \langle -x, u \rangle = c \Leftrightarrow{} -x \in K \cap H_c \Leftrightarrow{} x \in -(K \cap H_c) \)

luego \( K \cap H_{-c}=-(K \cap H_c) \) y con ello,

\( h(-c)=\operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_{-c})=\operatorname{vol}_{n-1}(-(K \cap H_c))=\operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_c)=h(c) \)

Finalmente, tenemos pues que dado \( c \in \mathbb{R} \) se tiene que

\( h(0)^\frac{1}{n-1}=h(c+(-c))^\frac{1}{n-1} \geq h(c)^\frac{1}{n-1} + h(-c)^\frac{1}{n-1}=2h(c)^\frac{1}{n-1} \geq h(c)^\frac{1}{n-1} \)

luego \( h(0) \geq h(c) \) y esto prueba la proposición.

El problema es que creo que no consigo demostrar (1) y de hecho creo que es falso, pero la idea de la demostración que he tenido creo que si puede ir por buen camino, ¿alguna idea de como completarla? Y, si no creen que vaya por buen camino, ¿alguna idea de como demostrar la proposición en si?

Un saludo y muchas gracias.

11 Diciembre, 2020, 03:21 pm
Respuesta #1

Eparoh

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Creo que he visto como solucionarlo.

Tenemos que para \( 0 \leq \lambda \leq 1 \) se cumple que como \( K \) es convexo

\( \lambda (K \cap H_{c_1}) + (1- \lambda) (K \cap H_{c_2}) \subset K \cap H_{(1-\lambda)c_1 + \lambda c_2} \)

luego por Brunn-Minknowski

\( h((1-\lambda)c_1 + \lambda c_2)^\frac{1}{n-1} \geq \operatorname{vol}_{n-1}(\lambda (K \cap H_{c_1}) + (1- \lambda) (K \cap H_{c_2}))^\frac{1}{n-1} \geq  (1- \lambda) \operatorname{vol}_{n-1} (K \cap H_{c_1})^\frac{1}{n-1} + \lambda \operatorname{vol}_{n-1} (K \cap H_{c_2})^\frac{1}{n-1}=(1-\lambda) h(c_1)^\frac{1}{n-1} + \lambda h(c_2)^\frac{1}{n-1}  \)

y tomando \( \lambda =\frac{1}{2}, c_1=c, c_2=-c \)

\( h(0)^\frac{1}{n-1}=h(\frac{1}{2} c + \frac{1}{2}(-c))^\frac{1}{n-1} \geq \frac{1}{2} h(c)^\frac{1}{n-1} + \frac{1}{2} h(-c)^\frac{1}{n-1}= h(c)^\frac{1}{n-1} \)

¿Qué les parece?