Autor Tema: Ecuación canónica estándar de la cónica

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29 Noviembre, 2020, 11:43 pm
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Julio_fmat

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Sea \( Q\subset \mathbb{P}_\mathbb{K}^3 \) la cuadrica con ecuación \( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0 \). Sean \( \mathbb{K}=\mathbb{C} \) y \( \prod_{\mu}\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) el plano proyectivo (complejo) en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) dado por \( x_4-\mu x_3=0 \), con \( \mu \in \mathbb{C} \). Sea \( \mathcal{C}_{\mu}:=Q\cap \prod_{\mu}\subset \prod_{\mu}\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \). Al variar del parámetro \( \mu \in \mathbb{C} \), escribir la ecuación canonica estandar de la conica \( \mathcal{C}_{\mu} \) en \( \prod_{\mu} \) y describir a \( \mathcal{C}_{\mu} \).
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

20 Diciembre, 2020, 08:28 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sean \( \mathbb{K}=\mathbb{C} \) y \( \prod_{\mu}\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) el plano proyectivo (complejo) en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) dado por \( x_4-\mu x_3=0 \), con \( \mu \in \mathbb{C} \). Sea \( \mathcal{C}_{\mu}:=\color{red}Q\color{black}\cap \prod_{\mu}\subset \prod_{\mu}\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \). Al variar del parámetro \( \mu \in \mathbb{C} \), escribir la ecuación canonica estandar de la conica \( \mathcal{C}_{\mu} \) en \( \prod_{\mu} \) y describir a \( \mathcal{C}_{\mu} \).

Si no indicas cuál es la cuádrica \( \color{red}Q\color{black} \) es imposible responder a lo que te preguntan.

Saludos.

27 Diciembre, 2020, 11:23 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Hola

Sean \( \mathbb{K}=\mathbb{C} \) y \( \prod_{\mu}\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) el plano proyectivo (complejo) en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) dado por \( x_4-\mu x_3=0 \), con \( \mu \in \mathbb{C} \). Sea \( \mathcal{C}_{\mu}:=\color{red}Q\color{black}\cap \prod_{\mu}\subset \prod_{\mu}\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \). Al variar del parámetro \( \mu \in \mathbb{C} \), escribir la ecuación canonica estandar de la conica \( \mathcal{C}_{\mu} \) en \( \prod_{\mu} \) y describir a \( \mathcal{C}_{\mu} \).

Si no indicas cuál es la cuádrica \( \color{red}Q\color{black} \) es imposible responder a lo que te preguntan.

Saludos.

Sorry, perdón. Fue un error de tipeo mío. Intentare ahora resolver el problema, y en caso de no entender, escribiré.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

28 Diciembre, 2020, 01:50 am
Respuesta #3

Julio_fmat

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Hice un avance...

\( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0 \)

\( \prod_{\mu}: x_4=\mu x_3 \)

\( \mathcal{C}_{\mu}:=Q\cap \prod_{\mu} \)

\( x_1^2-x_2^2-2x_3^2-\mu^2 x_3^2-4x_2x_3=0 \)

\( x_1^2-x_2^2-(2+\mu^2)x_3^2-4x_2x_3=0 \)

La matriz asociada a la cuadrica es

\( A=\begin{bmatrix}
{1}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{-1}&{-2}&{0}\\
{0}&{-2}&{-(2+\mu^2)}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}
\end{bmatrix} \)

Deberia darme en la diagonal principal puros 1's o unos y -1's para poder asi clasificar la cuadrica.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

28 Diciembre, 2020, 10:12 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hice un avance...

\( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0 \)

\( \prod_{\mu}: x_4=\mu x_3 \)

\( \mathcal{C}_{\mu}:=Q\cap \prod_{\mu} \)

\( x_1^2-x_2^2-2x_3^2-\mu^2 x_3^2-4x_2x_3=0 \)

\( x_1^2-x_2^2-(2+\mu^2)x_3^2-4x_2x_3=0 \)

Hasta ahí bien.

Citar
La matriz asociada a la cuadrica es

\( A=\begin{bmatrix}
{1}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{-1}&{-2}&{0}\\
{0}&{-2}&{-(2+\mu^2)}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}
\end{bmatrix} \)

Una vez que has hecho la sustitución estás trabajando en las variables \( x_1,x_2,x_3 \). Lo que tienes es una cónica, no una cuádrica y su matriz asociada es:

\( A=\begin{bmatrix}
{1}&{0}&{0}\\
{0}&{-1}&{-2}\\
{0}&{-2}&{-(2+\mu^2)}\\
\end{bmatrix} \)

Dado que trabajas en los complejos, lo que determina el tipo de cónica es el rango. Así que basta que estudies el rango de esa matriz escalonándola.

Saludos.

28 Diciembre, 2020, 08:19 pm
Respuesta #5

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\( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0 \)

\( \prod_{\mu}: x_4=\mu x_3 \)

\( \mathcal{C}_{\mu}:=Q\cap \prod_{\mu} \)

\( x_1^2-x_2^2-2x_3^2-\mu^2 x_3^2-4x_2x_3=0 \)

\( x_1^2-x_2^2-(2+\mu^2)x_3^2-4x_2x_3=0 \)

Hasta ahí bien.

Citar
La matriz asociada a la cuadrica es

\( A=\begin{bmatrix}
{1}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{-1}&{-2}&{0}\\
{0}&{-2}&{-(2+\mu^2)}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}
\end{bmatrix} \)

Una vez que has hecho la sustitución estás trabajando en las variables \( x_1,x_2,x_3 \). Lo que tienes es una cónica, no una cuádrica y su matriz asociada es:

\( A=\begin{bmatrix}
{1}&{0}&{0}\\
{0}&{-1}&{-2}\\
{0}&{-2}&{-(2+\mu^2)}\\
\end{bmatrix} \)

Dado que trabajas en los complejos, lo que determina el tipo de cónica es el rango. Así que basta que estudies el rango de esa matriz escalonándola.

Saludos.

Muchas Gracias, ahora lo entiendo mucho mejor.

Escalonamos, haciendo operaciones elementales de fila y se tiene:

\( A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{-2}\\{0}&{-2}&{-(2+\mu^2)}\end{bmatrix}\longrightarrow{e_2 (-1)}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{2}\\{0}&{-2}&{-(2+\mu^2)}\end{bmatrix}\longrightarrow{e_{32}(2)}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{2}\\{0}&{0}&{-(2+\mu^2)}\end{bmatrix}\longrightarrow{e_{23}\left(\dfrac{-2}{-\mu^2-2}\right), -2-\mu^2\ne 0} \)

\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{-\mu^2-2}\end{bmatrix}\longrightarrow{e_3\left(\dfrac{1}{-2-\mu^2}\right), -2-\mu^2\ne 0}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}. \)

Como \( \mathcal{C}_{\mu}\cong \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \), entonces la cuádrica es una cónica y \( \text{rg } \mathcal{C}_{\mu}=3 \), y la ecuación canónica estándar es \( x_1^2+x_2^2+x_3^2=0 \). Se tiene que \( \text{det } A\ne 0 \), y además, \( \mathcal{C}_{\mu} \) es no reducible, \( \mathcal{C}_{\mu} \) es no singular, y \( \text{Sing } \mathcal{C}_{\mu}=\varnothing. \)

Saludos.
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28 Diciembre, 2020, 08:41 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Muchas Gracias, ahora lo entiendo mucho mejor.

Escalonamos, haciendo operaciones elementales de fila y se tiene:

\( A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{-2}\\{0}&{-2}&{-(2+\mu^2)}\end{bmatrix}\longrightarrow{e_2 (-1)}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{2}\\{0}&{-2}&{-(2+\mu^2)}\end{bmatrix}\longrightarrow{e_{32}(2)}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{2}\\{0}&{0}&{-(2+\mu^2)}\end{bmatrix}\color{red}\longrightarrow{e_{23}\left(\dfrac{-2}{-\mu^2-2}\right), -2-\mu^2\ne 0}\color{black} \)

El principio está bien; pero a partir de lo que he marcado en rojo, no.

Ya has escalonado la matriz; es suficiente para calcular el rango: es el número de filas no nulas. Es decir:

\( rango(A)=\begin{cases}{3}&\text{si}& 2+\mu^2\neq 0\\2 & \text{si}& 2+\mu^2= 0\end{cases} \)

Nota que trabajamos en los complejos. Así que la ecuación \( 2+\mu^2=0 \) si tiene solución \( \mu=\pm i\sqrt{2}. \)

\( rango(A)=\begin{cases}{3}&\text{si}& \mu\neq i\sqrt{2},-i\sqrt{2}\\2 & \text{si}& \mu=i\sqrt{2},-i\sqrt{2}\end{cases} \)

Cuando tu dividías por \( 2+\mu^2 \) te complicabas la vida. Eso sólo puede hacerse si ese término se anula; y como hemos visto se anula para algunos valores.

Saludos.