Autor Tema: Ecuación cartesiana y paramétrica de la cuadrica

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11 Enero, 2021, 09:40 pm
Respuesta #10

Julio_fmat

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Hola

Gracias el_manco, pero tengo la siguiente duda. Se define la recta tangente como sigue:

Definición: La recta tangente \( T_p C \) a \( C:=V(P)\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) en un punto suave \( p:=(a:b:c)\in C \) es:

\( T_p C: \, x\dfrac{\partial P}{\partial x}(a,b,c)+y\dfrac{\partial P}{\partial y}(a,b,c)+z\dfrac{\partial P}{\partial z}(a,b,c)=0. \)

Entonces, ¿cuál seria la diferencia de escribir la ecuación como matriz con los datos de la cuadrica? No me queda claro.  :banghead:

Es lo mismo. Es decir si \( A \) es la matriz de la cónica tienes que su ecuación es:

\( P(x,y,z)=0\qquad \textsf{ con }\qquad P(x,y,z)=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} \)

Entonces para hallar el plano tangente en un punto \( (a,b,c) \) da lo mismo hacer:

\( T_p C: \, x\dfrac{\partial P}{\partial x}(a,b,c)+y\dfrac{\partial P}{\partial y}(a,b,c)+z\dfrac{\partial P}{\partial z}(a,b,c)=0. \) (*)

que:

\( T_p C: \,\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=0 \)

De hecho la ecuación (*) matricialmente puede escribirse como:

\( gradiente(P)(a,b,c)\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=0 \)

y el gradiente de:

\( P(x,y,z)=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} \)

es:

\( gradiente(P)(x,y,z)=2\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A \)

Saludos.

Gracias el_manco, tengo otra duda. Si \( x_2=0 \) es la ecuacion cartesiana de \( T_p Q \cap U \), entonces la ecuacion parametrica es

\( \rho \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\\
{0}&{1}\\
{1}&{0}
\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\end{pmatrix} \)

??

El vector \( \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \) es un punto de la recta interseccion, y la columna \( \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{pmatrix} \) ??
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12 Enero, 2021, 09:48 am
Respuesta #11

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Gracias el_manco, tengo otra duda. Si \( x_2=0 \) es la ecuacion cartesiana de \( T_p Q \cap U \), entonces la ecuacion parametrica es

\( \rho \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\\
{0}&{1}\\
{1}&{0}
\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\end{pmatrix} \)

??

El vector \( \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \) es un punto de la recta interseccion, y la columna \( \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{pmatrix} \) ??

Es que \( x_2=0 \) no es la ecuación de \( T_p Q \cap U \). Las ecuaciones cartesianas de esa intersección se obtienen tomando las ecuaciones cartesianas de cada uno de los dos hiperplanos:

\( x_1-x_4=0 \)
\( x_1+x_2-x_4=0 \)

Que se puede simplificar a:

\( x_1-x_4=0 \)
\( x_2=0 \)

Pero no puedes olvidarte de la primera ecuación.

Entonces de ahí resuelves el sistema paramétricamente tienes:

\( x_1=x_4 \) y \( x_2=0 \)

Tomando x_3,x_4 como parámetros, las paramétricas son:

\( x_1=\beta,\quad x_2=0,\quad x_3=\alpha,\quad x_4=\beta \)

Que puedes escribir:

\( \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\\ {1}&{0}\\ {0}&{1} \end{bmatrix}\begin{pmatrix}{\alpha}\\{\beta}\end{pmatrix} \)

Saludos.