[Julio_fmat]

En \( \mathbb{A}_\mathbb{R}^4 \), sean \( r \) y \( \pi \) la recta y el plano dados por \( r: x=t, y=1+t, z=2, w=2+t \), \( \pi: x-2y-w=y-w+2z=0 \). Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesiana del hiperplano \( H \) tal que \( (1,0,-2,0)\in H \), \( r\parallel H \), \( \pi \parallel H. \)

Hola, tengo la ecuacion parametrica de la recta \( r \), i.e.: \( \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{2}\\{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{0}\\{1}\end{pmatrix}t \). Pero no se me ocurre como sacar la parametrica del plano...¿Me pueden ayudar? Gracias.

[delmar]

Hola

Utiliza las ecuaciones que te dan para el plano, has de poner sus elementos como función de 2 paramétros, por ejemplo x,y, muestro una forma :

\( x-2y-w=0\Rightarrow{w=x-2y} \)

\( y-w+2z=0\Rightarrow{z=0.5(w-y)=0.5(x-2y)-0.5y=0.5x-1.5y} \)

Por lo tanto : \( \pi(x,y)=(x,y,0.5x-1.5y,x-2y)=x(1,0,0.5,1)+y(0,1,-1.5,-2) \)



Saludos

[mg]

Hola,

También podrías obtener 3 puntos afínmente independientes que verfiquen las ecuaciones del plano \( \pi \), \( P_0,P_1,P_2 \) tomar uno de los puntos, por ejemplo \( P_0 \), y entonces los vectores del plano serían \( \vec{P_0P_1} \) y \( \vec{P_0P_2} \).

[Julio_fmat]

Hola

Utiliza las ecuaciones que te dan para el plano, has de poner sus elementos como función de 2 paramétros, por ejemplo x,y, muestro una forma :

\( x-2y-w=0\Rightarrow{w=x-2y} \)

\( y-w+2z=0\Rightarrow{z=0.5(w-y)=0.5(x-2y)-0.5y=0.5x-1.5y} \)

Por lo tanto : \( \pi(x,y)=(x,y,0.5x-1.5y,x-2y)=x(1,0,0.5,1)+y(0,1,-1.5,-2) \)



Saludos

Muchas Gracias, ahora lo entendí, tenia que despejar una variable.

Saludos.