[Julio_fmat]

En \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^4 \), sean \( \Lambda_1: x_1=x_2=x_3=x_4-x_5=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_4=2x_2-x_4+x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_1-x_2=x_1+x_3-x_4=x_1-2x_3+x_5=0 \) tres subespacios lineales proyectivos. Decir si existe una homografia \( \omega: \mathbb{P}_\mathbb{C}^4\to \mathbb{P}_\mathbb{C}^4 \) tal que \( \omega(\Lambda_2)=\Lambda_2 \) y \( \omega(\Lambda_3)=\ell \), donde \( \ell \) es la recta dada por \( x_1=x_2=x_5-x_4-x_3=0. \)

[Julio_fmat]

Hola, alguien me puede ayudar?

[Julio_fmat]

Hola, alguien sabe? 

[Bobby Fischer]

Hola,

Calcula una base de \(\Lambda_2\)
Calcula una base de \(\Lambda_3\)
Se comprueba que una base del espacio de partida tiene \(4\) puntos proyectivamente linealmente independientes.
Se comprueba que una base del espacio de llegada tiene \(5\) puntos proyectivamente linealmente independientes.
Tenemos una aplicación que transforma una variedad lineal proyectiva de dimensión \(3\) en otra de dimensión \(4\).
Pero una homografía siempre conserva la dimensión.
Si no conserva la dimensión, no es homografía.

[Julio_fmat]

Hola,

Calcula una base de \(\Lambda_2\)
Calcula una base de \(\Lambda_3\)
Se comprueba que una base del espacio de partida tiene \(4\) puntos proyectivamente linealmente independientes.
Se comprueba que una base del espacio de llegada tiene \(5\) puntos proyectivamente linealmente independientes.
Tenemos una aplicación que transforma una variedad lineal proyectiva de dimensión \(3\) en otra de dimensión \(4\).
Pero una homografía siempre conserva la dimensión.
Si no conserva la dimensión, no es homografía.

Gracias Bobby, pero no me queda claro. Puedes ser mas explicito? Creo haber leido algo sobre la dimension, si las dimensiones son distintas, entonces \( \omega \) no es una homografia.

[Bobby Fischer]

Más explícito respecto a qué, Julio.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Calcula una base de \(\Lambda_2\)
Calcula una base de \(\Lambda_3\)
Se comprueba que una base del espacio de partida tiene \(4\) puntos proyectivamente linealmente independientes.
Se comprueba que una base del espacio de llegada tiene \(5\) puntos proyectivamente linealmente independientes.
Tenemos una aplicación que transforma una variedad lineal proyectiva de dimensión \(3\) en otra de dimensión \(4\).
Pero una homografía siempre conserva la dimensión.
Si no conserva la dimensión, no es homografía.

No estoy seguro de que has querido decir con esto Bobby. La aplicación debe de llevar \( \Lambda_2 \) en si mismo y \( \lambda_3 \) que es una recta en otra recta. Entonces no hay problemas de dimensiones ahí.

Lo que si ocurre, si no me equivoqué em las cuentas, es que \( \lambda_2\cap \lambda_3=\textsf{un punto} \) pero \( \lambda_2\cap \ell=\emptyset \). Por tanto es imposible que \( \omega(\Lambda_2)=\Lambda_2 \) y \( \omega(\Lambda_3)=\ell \), porque entonces debería de ocurrir que \( \omega(\Lambda_2\cap \Lambda_3)=\Lambda_2\cap \ell \).

Saludos.

[Bobby Fischer]

No estoy seguro de que has querido decir con esto Bobby. La aplicación debe de llevar \( \Lambda_2 \) en si mismo y \( \lambda_3 \) que es una recta en otra recta. Entonces no hay problemas de dimensiones ahí.

Ahora entiendo la pregunta.

Me baso en que $$F(\Lambda_2+\Lambda_3)=F(\Lambda_2)+F(\Lambda_3)=\Lambda_2+\ell$$

$$\dim(\Lambda_2+\Lambda_3)=3$$, mientras que $$\dim(\Lambda_2+\ell)=4$$

La aplicación no conserva la dimensión en todos los casos, puesto que hemos encontrado un caso donde no la conserva.
Una homografía siempre conserva la dimensión (supongo que tiene que ver con la propiedad de biyectividad de una homografía).
Si no conserva la dimensión, no es homografía.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Me baso en que $$F(\Lambda_2+\Lambda_3)=F(\Lambda_2)+F(\Lambda_3)=\Lambda_2+\ell$$

$$\dim(\Lambda_2+\Lambda_3)=3$$, mientras que $$\dim(\Lambda_2+\ell)=4$$

La aplicación no conserva la dimensión en todos los casos, puesto que hemos encontrado un caso donde no la conserva.
Una homografía siempre conserva la dimensión (supongo que tiene que ver con la propiedad de biyectividad de una homografía).
Si no conserva la dimensión, no es homografía.

De acuerdo ahora. Es un razonamiento análogo al que yo hice. Tu razonas con la suma y yo con la intersección.

Saludos.

[Julio_fmat]

Muchas Gracias, me ha quedado claro.

Saludos.