Autor Tema: Figuras convexas.

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20 Noviembre, 2020, 01:59 am
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UNKNOW

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Buen día¡

Disculpen me podrían ayudar con ideas para demostrar si un plano, una recta, un segmento y un semiplano son figuras convexas.

¿Cómo puedo empezar la demostración de cada uno?

¿Qué axiomas debería usar ?

¿todos se pueden llegar a demostrar :(?

De antemano agradezco cualquier idea e información con la me puedan ayudar.

Saludos.

20 Noviembre, 2020, 02:44 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola UNKNOW. Lo primero que hay que aclarar es la definición de Figura Convexa, y luego ver si los conjuntos que mencionas la complen. Me voy a basar en la definición de Conjunto Convexo de Wikipedia. Se dice que un conjunto \( L \) es convexo cuando para todos \( a,b\in L \) y para todo \( t\in [0,1] \) se cumple \( (1-t)a+tb\in L \).

Para el caso de la recta, \( L=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y=mx+b\} \) donde \( m \) y \( b \) son dados. Ahora veamos que satisface la definición.

- Tomamos dos elementos genéricos del conjunto \( L \), \( (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in L \), esto es,

    \( y_1=mx_1+b \)    (*)
    \( y_2=mx_2+b \)    (**)

- Debemos verificar que \( (1-t)(x_1,y_1)+t(x_2,y_2)\in L \).

- Observamos que

    \( (1-t)(x_1,y_1)+t(x_2,y_2)=(\textcolor{brown}{(1-t)x_1+tx_2},\textcolor{blue}{(1-t)y_1+ty_2}) \)

Se sigue de (*) y (**) que

    \( \textcolor{blue}{(1-t)y_1+ty_2}=(1-t)(mx_1+b)+t(mx_2+b) \)

                                                    \( =m(\textcolor{brown}{(1-t)x_1+tx_2)}+b \)

y por tanto el punto \( (\textcolor{brown}{(1-t)x_1+tx_2},\textcolor{blue}{(1-t)y_1+ty_2}) \)  satisface la ecuación de la recta \( y=mx+b \), por lo que

    \( ((1-t)x_1+tx_2,(1-t)y_1+ty_2)\in L \)

lo que finaliza la demostración.

__________________________________________________

Obs:
- Quizás haya una forma más corta de demostrar el resultado, pero como ves, no es difícil de probar a partir de la definición.
- Es evidente que si la recta, o plano...  pasan por el origen, entonces son conjuntos convexos (porque son subespacios vectoriales).