[Julio_fmat]

En \( \mathbb{P}_{\mathbb{K}}^4 \) con \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \). Sean \( \Lambda_1: x_1=x_2=x_3=x_4-x_5=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_4=2x_2-x_4+x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_1-x_2=x_1+x_3-x_4=x_1-2x_3+x_5=0 \) tres subespacios proyectivos. Calcular \( \text{dim}_{\mathbb{K}}(\Lambda_2\cap \Lambda_3). \)

Hola, podemos usar la formula de Grassmann.

[mg]

Hola,

Podrías hacerlo directamente considerando las variedades lineales asociadas a cada plano proyectivo, ya que la dimensión de una variedad proyectiva es la dimensión de la variedad lineal asociada menos 1.

Un saludo

[Julio_fmat]

Gracias por la ayuda, pero hay que usar la formula de Grassmann.

[mg]

Hola,
entonces teniendo en cuenta lo que antes he mencionado, se tiene que \( dim(\lambda_2)=2 \) y \( dim(\lambda_3)=1 \), por tanto solo queda calcular la dimensión de la suma. La suma se puede comprobar que tiene dimensión 2 (se hace de la misma forma en que se estudia la suma de subsespacios vectoriales), y ya solo queda aplicar la fórmula de Grassmann para variedades proyectivas.

Un saludo