Autor Tema: División de una cuerda de una cónica

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10 Diciembre, 2020, 11:12 am
Respuesta #10

ancape

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Hola.

A ver si esto te ayuda:


Un saludo.

¡¡¡Perfecto!!!!
Gracias por tu ayuda, era un problema que tenía resuelto para elipses (puede verse en este foro) pero me faltaba la generalización a todo tipo de cónicas y no acertaba con el procedimiento adecuado.

Cómo bien prueba tu construcción, el problema no tiene solución cuando \( P \) es tal que la cónica homotética de la dada es disjunta con la primera, por ejemplo si \( P \) no está entre las dos ramas de la hipérbola, o es exterior a la elipse si se da este tipo de cónica.

Una vez dado \( P \) de forma que el problema tenga solución, está claro que ésta no existe para todo valor \( r \) en el intervalo \( [0,1]  \)sino que hay un intervalo \( [a,1] \) en el que tenemos solución y fuera de él no. ¿ Cual es el valor de \( a \) ?. Según la construcción que has ideado, correspondería al valor de \( r \) que hace tangentes la cónica dada y su homotética, pero no logro calcularlo.

Por otra parte, ya que hemos inaugurado la sección 'peticiones del oyente', echa, si puedes, un vistazo al siguiente problema que forma parte de una construcción que hice hace tiempo y que solo supe demostrar analíticamente (cuando soy un apasionado de las construcciones geométricas sintéticas)

Probar que: "los polos de las tangentes a una cónica respecto de otra forman una cónica"

Gracias por tu tiempo

Saludos


10 Diciembre, 2020, 11:57 pm
Respuesta #11

martiniano

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Hola.

Un par de cosas.

Cómo bien prueba tu construcción, el problema no tiene solución cuando \( P \) es tal que la cónica homotética de la dada es disjunta con la primera, por ejemplo si \( P \) no está entre las dos ramas de la hipérbola, o es exterior a la elipse si se da este tipo de cónica.

Una vez dado \( P \) de forma que el problema tenga solución, está claro que ésta no existe para todo valor \( r \) en el intervalo \( [0,1]  \)sino que hay un intervalo \( [a,1] \) en el que tenemos solución y fuera de él no. ¿ Cual es el valor de \( a \) ?. Según la construcción que has ideado, correspondería al valor de \( r \) que hace tangentes la cónica dada y su homotética, pero no logro calcularlo.

El problema sí puede tener solución si \( P \) se encuentra entre las dos ramas de la hipérbola. De hecho, en el ejemplo que pediste era así. Lo que se cumple es que si el punto está en la otra región, entonces la solución existe para cualquier valor de la razón. También puede tener solución para puntos exteriores a una elipse y puede no tenerla en puntos interiores. Todo depende de la razón y de la posición de \( P \).

Por otro lado, fíjate que al cambiar la razón por su inverso, la solución al problema no cambia salvo una transposición de \( A \) y \( B \). Luego fíjate que el intérvalo en el que se debe hallar la razón para que el problema tenga solución es de la forma \( [a, 1/a] \).

(Añadido) Para hallar los límites entre los que el problema tiene solución observa que cuando dos cónicas homotéticas son tangentes comparten un diámetro

Saludos.

20 Diciembre, 2020, 01:19 pm
Respuesta #12

martiniano

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Hola.

Por otra parte, ya que hemos inaugurado la sección 'peticiones del oyente', echa, si puedes, un vistazo al siguiente problema que forma parte de una construcción que hice hace tiempo y que solo supe demostrar analíticamente (cuando soy un apasionado de las construcciones geométricas sintéticas)

Probar que: "los polos de las tangentes a una cónica respecto de otra forman una cónica"

He abierto un nuevo hilo para discutir este problema. Por favor, en el futuro cuando quieras proponer un nuevo problema abre un nuevo hilo.

Un saludo.