Autor Tema: División de una cuerda de una cónica

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14 Noviembre, 2020, 01:04 am
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ancape

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Ya hemos conseguido resolver el problema de dividir una cuerda para una circunferencia y una elipse. Sólo no queda hacerlo para cualquier tipo de cónica (hipérbolas o parábolas)

Problema

"Dados una cónica no elipse c, un punto fuera de ésta P y un número 0≤r≤1, trazar una cuerda AB, cuando sea posible, que pase por P y tal que PA/PB  = r"

Desgraciadamente no vale una afinidad que transforme la cónica dada en una circunferencia si tal cónica tiene puntos del infinito y una homología que sí lo hace, no conserva las proporciones.

14 Noviembre, 2020, 04:48 pm
Respuesta #1

robinlambada

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NO TENER EN CUENTA
Hola me gustaría matizar el problema en particular solo lo de "cuando sea posible".  es decir dar una condición necesaria para que el problema planteado tenga solución en el caso de la parábola:
Spoiler
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Si trazamos el segmento que determina la distancia  del punto P a la parábola (distancia mínima de P a cualquier punto de la cónica)  y tomamos esta distancia "d" como la  del segmento\( \overline{PA} \) ,  \( d=|PA| \) , y calculamos \( B \) de tal modo que \( |PB|=\displaystyle\frac{d}{r} \)

Entonces para que el problema tenga solución sobre la parábola el extremo B del segmento \( \overline{APB} \) debe quedar "dentro" de la parábola. es decir el segmento \( \overline{APB} \)  no debe cortar a la parábola, en cuyo caso no habría solución.

El caso límite para el mínimo de r es el que hace que la solución así planteada sea trivial, es decir que el punto B coincida con un punto de la otra rama parabólica.

Saludos.

P.D.: La condición que debe cumplir r para que el problema tenga solución me temo que es algo más compleja que lo que acabo de comentar, por tanto ruego que no se tenga en cuenta.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

15 Noviembre, 2020, 12:34 am
Respuesta #2

ancape

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El problema completo en realidad son dos problemas, uno el que he enunciado, es decir, construir geométricamente la cuerda que hace PA/PB=r. Efectivamente esto no es posible para todo r y toda posición de P. Pensemos, por ejemplo, que la cónica dada es una hipérbola y P su centro. El cociente PA/PB será siempre 1 y por tanto para cualquier valor de r inferior el problema no tendrá solución. Si el punto P queda en una de las regiones en que la hipérbola divide al plano y que contenga algún foco, tampoco el problema tendrá solución pues al trazar una recta por P, los segmentos PA y PB no forman una cuerda.
El segundo problema, que tal vez se resuelva solo, cuando demos solución al primero, es calcular exactamente el mínimo valor de r para el que tenemos solución. Exactamente como se hizo con la circunferencia, pero ahora con cualquier cónica.

Saludos




09 Diciembre, 2020, 10:51 am
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

El problema es equivalente a este otro.

Un saludo.

09 Diciembre, 2020, 05:38 pm
Respuesta #4

ancape

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Hola.

El problema es equivalente a este otro.

Un saludo.

He estudiado la construcción en el enlace que envías y no logro ver la equivalencia. Ten en cuenta que una homología no conserva siempre las proporciones.

Saludos

09 Diciembre, 2020, 07:00 pm
Respuesta #5

martiniano

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Hola.

Voy a detallar el paso que transforma este problema al otro. Tenemos una cónica \( c \), un número real positivo \( r \) y un punto \( P \). Queremos hallar dos puntos \( A, B \) de la cónica tales que \( P \) esté en \( AB \) y que \( PB/PA=r \). Definimos una homotecia de vértice \( P \) y razón \( -r \), de manera que \( B \) será el homotético de \( A \) y por tanto estará sobre la cónica homotética a \( c \). Luego el problema se reduce a hallar la intersección de esas dos cónicas homotéticas.

Un saludo.

09 Diciembre, 2020, 07:12 pm
Respuesta #6

ancape

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Hola.

Voy a detallar el paso que transforma este problema al otro. Tenemos una cónica \( c \), un número real positivo \( r \) y un punto \( P \). Queremos hallar dos puntos \( A, B \) de la cónica tales que \( P \) esté en \( AB \) y que \( PB/PA=r \). Definimos una homotecia de vértice \( P \) y razón \( -r \), de manera que \( B \) será el homotético de \( A \) y por tanto estará sobre la cónica homotética a \( c \). Luego el problema se reduce a hallar la intersección de esas dos cónicas homotéticas.

Un saludo.

Si A y B son puntos que no se conocen y se pretende hallar, ¿Cómo se puede definir una homotecia que transforme A en B?

Saludos

09 Diciembre, 2020, 09:28 pm
Respuesta #7

martiniano

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Hola.

La homotecia se define a partir de su vértice y de su razón, que son datos del enunciado. Resulta que esa homotecia tiene la propiedad de que transforma \( A \) en \( B \), estén donde estén.

Saludos.

10 Diciembre, 2020, 12:17 am
Respuesta #8

ancape

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Hola.

La homotecia se define a partir de su vértice y de su razón, que son datos del enunciado. Resulta que esa homotecia tiene la propiedad de que transforma \( A \) en \( B \), estén donde estén.

Saludos.

No consigo sacarlo. Dime cuales son los puntos \( A,B \) extremos de una cuerda de la hipérbola \( c: -107x² - 4x y + 73y² + 1073x + 377y = 1768 \) siendo \( P=(4,2)  \) y la razón de los segmentos en que \( P \) divide a la cuerda \( AB  \) es \( r=0.86
 \)

Pon un enlace para descargar el archivo si lo haces con Geogebra o una explicación detallada para que pueda estudiar cómo se hace.
Gracias

Saludos


10 Diciembre, 2020, 08:51 am
Respuesta #9

martiniano

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Hola.

A ver si esto te ayuda:


Un saludo.