Autor Tema: División de una cuerda de una circunferencia

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

12 Noviembre, 2020, 04:33 pm
Respuesta #10

sugata

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,057
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Robinlamba, una solución a tu problema.
Edito: lo del spoiler está mal
Spoiler
He pensado en usar un cuadrado de lado \( d^2/2 \) por Pitágoras la diagonal será \( \sqrt[ ]{2d^2/2}=d \), así que sólo tienes que montar un cuadrado con diagonal d y obtienes \( d^2/2 \)
[cerrar]

12 Noviembre, 2020, 05:10 pm
Respuesta #11

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,803
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Robinlamba, una solución a tu problema.

Spoiler
He pensado en usar un cuadrado de lado \( d^2/2 \) por Pitágoras la diagonal será \( \sqrt[ ]{2d^2/2}=d \), así que sólo tienes que montar un cuadrado con diagonal d y obtienes \( d^2/2 \)
[cerrar]
No has usado bien Pitágoras, se te olvida elevar al cuadrado los catetos, ¿como me explicas que el lado del cuadrado sea mayor que su diagonal si elijo \( d>2 \) ?

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

12 Noviembre, 2020, 06:12 pm
Respuesta #12

ancape

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 277
  • País: es
  • Karma: +0/-5
  • Sexo: Masculino
Hola.

Una opción es la siguiente:

Spoiler

La relación \( r \) queda fijada por dos puntos \( A,B \) (perdón por el cambio en la nomenclatura) que podemos alinear con el centro de la circunferencia y el mismo \( P \). Trazamos una circunferencia auxiliar de diámetro \( AB \). La potencia de \( P \) sobre esa circunferencia es a \( PA \) como la potencia de \( P \) sobre la circunferencia del enunciado a la distancia de \( P \) a uno de los dos extremos de la cuerda buscada (en mi dibujo \( J \)).
[cerrar]

Un saludo.

Perfecto. No me había fijado en el texto que acompañaba al dibujo pues inmediatamente bajé la hoja de Geogebra "CuerdaCircunferencia.ggb" para jugar con ella.
Acompaño mi propia hoja en la que he seguido exactamente tus pasos aunque la presentación queda más clara.
Spoiler
[attachment id=0 msg=455948]
[cerrar]


12 Noviembre, 2020, 06:21 pm
Respuesta #13

ancape

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 277
  • País: es
  • Karma: +0/-5
  • Sexo: Masculino
......
Lo que no me gusta es que no doy un método para obtener geométricamente \( d^2 \) a partir de d
......

Acompaño hoja de Geogebra que detalla la construcción geométrica del producto de dos segmentos.
Spoiler
[attachment id=0]
[cerrar]

12 Noviembre, 2020, 07:41 pm
Respuesta #14

ancape

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 277
  • País: es
  • Karma: +0/-5
  • Sexo: Masculino
He encontrado otra solución.
Spoiler
Aunque no estoy satisfecho, pues no es demasiado geométrica, puede ser interesante y a ver si alguno lo pule un poco más.

Trazo una perpendicular a la recta diametral que une P y el centro O de la circunferencia y pasa por el propio P, por construcción \( |CP|=|PD|=d \)

Parto de la idea de Martiniano de potencia de un punto interior a una circunferencia.

La potecia de P respecto a la circunferencia es \( |CP|\cdot{}|PD|=d^2 \), esta potencia es la misma para cualquier cuerda que pase por el punto P

Por ello sean A y B los puntos de la circunferencia  alineados con P buscados, es decir que su razón de distancias es r.

tenemos que: \( |PA|\cdot{}|PB|=d^2 \)  (1) y por condición del enunciado \( \displaystyle\frac{|PA|}{|PB|}=r \)  (2)

De (1) y (2) obtenemos \( |PA|^2=rd^2 \)

lo que nos recuerda al teorema de la altura en un triángulo rectángulo de base \( r+d^2 \) y altura \( |PA| \)

Por tanto basta construir dicho triángulo para obtener el segmento \( PA \), que será la altura conocidos \( d=|PD \)| y \( r \).


Lo que no me gusta es que no doy un método para obtener geométricamente \( d^2 \) a partir de d

[cerrar]

Saludos.

Excelente construcción.
Acompaño hoja de Geogebra con detalle de la construcción y deslizador para la razón r
Spoiler
[attachment id=0]
[cerrar]

12 Noviembre, 2020, 08:10 pm
Respuesta #15

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,803
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
......
Lo que no me gusta es que no doy un método para obtener geométricamente \( d^2 \) a partir de d
......

Acompaño hoja de Geogebra que detalla la construcción geométrica del producto de dos segmentos.
Spoiler
[attachment id=0]
[cerrar]

Gracias.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

12 Noviembre, 2020, 09:17 pm
Respuesta #16

sugata

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,057
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Robinlamba, una solución a tu problema.

Spoiler
He pensado en usar un cuadrado de lado \( d^2/2 \) por Pitágoras la diagonal será \( \sqrt[ ]{2d^2/2}=d \), así que sólo tienes que montar un cuadrado con diagonal d y obtienes \( d^2/2 \)
[cerrar]
No has usado bien Pitágoras, se te olvida elevar al cuadrado los catetos, ¿como me explicas que el lado del cuadrado sea mayor que su diagonal si elijo \( d>2 \) ?

Saludos.
Me di cuenta al poco de publicar el mensaje, pero tenía el móvil sin batería y lo puse a cargar. Lo siento.

12 Noviembre, 2020, 11:21 pm
Respuesta #17

ancape

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 277
  • País: es
  • Karma: +0/-5
  • Sexo: Masculino
He encontrado otra solución.....

La construcción de robinlambada justifica además la aseveración \( m=\displaystyle\frac{R-OP}{R+OP} \) como valor mínimo de r cuando P dista del centro de la circunferencia OP. Si r es menor de tal valor, el segmento PA que calcula el teorema de la altura, da un círculo que no se interseca con el dado.

Ya que parece que hemos resuelto el problema para una circunferencia. ¿Qué tal si lo generalizamos para un elipse?
Voy a abrir un nuevo tema con ese enuciado.

Saludos


13 Noviembre, 2020, 12:01 am
Respuesta #18

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,803
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
He puesto mi solución de forma más clara e integrada con la circunferencia.
Spoiler
Se puede mover el deslizador \( r_1 \), observandose los valores mínimo y máximo, he tomado como radio de la circunferencia R=1, para utilizarlo como segmento para hallar \( d^2 \) por Tales
[cerrar]
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

13 Noviembre, 2020, 08:59 am
Respuesta #19

martiniano

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,498
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Perfecto. No me había fijado en el texto que acompañaba al dibujo pues inmediatamente bajé la hoja de Geogebra "CuerdaCircunferencia.ggb" para jugar con ella.
Acompaño mi propia hoja en la que he seguido exactamente tus pasos aunque la presentación queda más clara.

Sí, mucho más bonito  ;). El otro día es que acabé un poco cruzado con mi ordenador porque el Geogebra que tenía instalado me hacía lo que quería con los archivos que le pedía que guardase, así que acabé utilizando el del enlace que se facilita aquí en el foro y, bueno... Me quedó como me quedó... Nos quedamos con tu dibujo  :aplauso:

Un saludo.