Autor Tema: Superficie Inmersa

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

27 Octubre, 2020, 06:00 am
Leído 146 veces

Steven_Math

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 89
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas, he estado tratando de resolver el siguiente ejercicio:

Sea \(  U=\{(u,v)\in \mathbb{R}^2 \ | \ u>0\} \) Mostrar que el mapeo \( \varphi:U \to \mathbb{R}^3 \) dado por
\( \varphi(u,v)=(u+v\cos u, u^2+v\sin u, u^3) \) es una superficie inmersa.

Por definición para que el mapeo  \( \varphi:U \to \mathbb{R}^3 \) sea una superficie inmersa  tendría que verificar lo siguiente:

  • \( \varphi:U \to \mathbb{R}^3 \) es de clase \( C^{\infty} \)
  • \( U   \) es abierto
  • La diferencial \(  d\varphi_x:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3  \) es inyectiva (Tiene rango 2) para cada punto \( x\in U \)
La primera condición es evidente, me falta verificar la segunda y tercera condición. Les agradezco su gran ayuda,
Saludos.

27 Octubre, 2020, 10:00 am
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,343
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
La segunda condición también es inmediata: \( U=\{(u,v) \in \Bbb R^2 \mid u>0\} \) es claramente abierto.

Para la tercera debes calcular la matriz Jacobiana de \( \varphi \) y comprobar que tiene rango \( 2 \) en todos los puntos. Es un cálculo rutinario, inténtalo y si tienes dificultades pon lo que has hecho y dónde te atascas.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)